Storia della matematica
La matematica è antica quanto la civiltà stessa: a partire dal periodo
neolitico, quando con lo stanziamento fisso cominciarono a sorgere i primi
villaggi, lo scrivere e il contare divennero sempre più utili, se non
necessari. Con il contare, comincia la storia della matematica. Contare il
trascorrere del tempo, realizzare complessi disegni di cesti e tessuti, e
spartire merci, raccolti e bestiame richiedevano essenzialmente conoscenze
aritmetiche. Analogamente, perfino nelle culture più rudimentali, la
decorazione delle ceramiche con disegni intricati, l'individuazione delle
costellazioni nel cielo stellato, o la disposizione di pietre, obelischi e tombe
in formazioni rituali denotano una conoscenza dello spazio e della
geometria.
Le più antiche nozioni matematiche sono conservate nei papiri egizi, nelle
tavolette cuneiformi babilonesi e nei manoscritti greci. Essi indicano che i
primi interessi matematici riguardarono l'aritmetica, l'algebra, la geometria e
la trigonometria.
Aritmetica e algebra
Tra i più antichi testi matematici giunti fino a noi vi sono il famoso
papiro di Rhind (c. 1650 a.C.) e il papiro Golonishev. Essi rivelano che gli
Egizi usavano un sistema decimale; l'unità era rappresentata da una singola
linea, e le decine, le centinaia e le migliaia da simboli geroglifici.
L'aritmetica era per gli Egizi essenzialmente additiva; la moltiplicazione era
ottenuta tramite successivi raddoppiamenti. Tranne che per la frazione 2/3, per
la quale esisteva un geroglifico speciale, tutte le frazioni venivano espresse
come frazioni unitarie della forma 1/n, una frazione relativamente semplice come
2/59 era sempre trattata nella forma più complessa, ma equivalente, di 1/36 +
1/236 + 1/531 = 2/59. Le frazioni unitarie erano estremamente scomode e non
avrebbero certo facilitato il calcolo e lo sviluppo dell'aritmetica; nonostante
ciò, la matematica egiziana era adatta a essere applicata nel commercio e
nell'agricoltura. Per trattare problemi quali l'immagazzinamento dei raccolti e
la divisione delle forme di pane, gli Egizi applicarono anche un'algebra
rudimentale, che tuttavia non andava oltre le semplici equazioni lineari in una
incognita.
L'aritmetica babilonese, che faceva
uso di un sistema posizionale sessagesimale, rese certe operazioni, quali
la moltiplicazione e la divisione, più semplici di quelle egizie. La base
babilonese 60 è ancora usata per misurare il tempo (1 ora = 60 minuti, 1 minuto
= 60 secondi) e per misurare l'ampiezza degli angoli. I Babilonesi superarono
gli Egizi anche nell'uso dell'algebra. Tavolette cuneiformi del periodo di
Hammurabi (c. 1950 a.C.) testimoniano una notevole abilità nel risolvere anche
equazioni di secondo grado e equazioni semplici di terzo grado. Le tavolette
cuneiformi del periodo più tardo (dal 600 a.C. al 300 d.C. circa) riflettono
anche le capacità algebrico-aritmetiche dei Babilonesi e mostrano i progressi
da loro fatti nell'applicare la matematica all'astronomia. Per facilitare i loro
complicati calcoli, prepararono tavole per la moltiplicazione, i reciproci e le
radici quadrate, e tavole per risolvere certi fondamentali tipi di
equazioni.
Le prime importanti scoperte della matematica greca sono attribuite a
Pitagora di Samo e ai suoi discepoli. L'aritmetica pitagorica considerava i
numeri come somme di unità, o punti, e perciò è stata spesso interpretata
come una forma astratta di atomismo.
Una scuola nata attorno a Zenone di Elea
Zenone.
Il principale effetto delle argomentazioni di Zenone fu quello di mettere in
evidenza la necessità di studiare più attentamente le definizioni e i
fondamenti della matematica. I pitagorici dettero anche la prima dimostrazione
generale del cosiddetto teorema di Pitagora e scoprirono l'esistenza dei numeri
irrazionali, detti allora grandezze incommensurabili. La scoperta delle
grandezze incommensurabili mise in crisi la filosofia pitagorica, per la quale
tutte le grandezze potevano essere espresse in termini di numeri interi o di
rapporti fra interi. La scoperta mise in chiaro il fatto che l'aritmetica
pitagorica era insufficiente a esprimere quantità geometriche quali la
diagonale del quadrato. Alcuni ritengono che questa sia stata la prima grossa
crisi nella storia della matematica. Sebbene Eudosso di Cnido riuscisse in
seguito a risolvere il dilemma elaborando una teoria della proporzione, la
matematica greca post-pitagorica divenne molto più geometrica che algebrica.
Questo orientamento fu rafforzato da Platone, il maestro di Eudosso, che
considerò la geometria come il modello del ragionamento irrefutabile.
Il più noto matematico dell'antichità è Euclide (sec. III a.C.), i cui
Elementi di geometria forniscono una trattazione sistematica della geometria
sotto forma di definizioni, assiomi, postulati e
teoremi. La successione delle argomentazioni di Euclide fu assunta come modello
di rigore logico nell'antichità; da allora l'assiomatizzazione ha rappresentato
la più alta forma di costruzione scientifica. Euclide fu un compilatore e un
ordinatore di idee preesistenti, ma il più grande matematico dell'antichità,
per qualità e originalità, fu Archimede (287-212 a.C.), che applicò il metodo
di esaustione per determinare rigorosamente aree e volumi di numerose
figure geometriche.
Il suo più giovane contemporaneo Apollonio di Perga introdusse i termini di
ellisse, iperbole e parabola e determinò le proprietà specifiche di ciascuna
di queste curve, che rientrano nelle sezioni coniche. Il cerchio era la curva
più importante, perché nell'antichità l'astronomia si basava sulla geometria
dei cerchi perfetti e sui movimenti circolari uniformi.
Eudosso, Aristarco di Samo, Ipparco di Nicea e Claudio Tolomeo dettero
fondamentali contributi allo sviluppo dei modelli geometrici per i movimenti
planetari (v. astronomia, storia dell'). L'ultimo dei grandi geometri
dell'antichità fu Pappo (sec. III d.C.), la cui Collezione matematica
costituisce la sintesi del lavoro dei suoi predecessori a partire da
Euclide.
Nell'Almagesto, Tolomeo introdusse nozioni di trigonometria nei termini di
una tavola delle corde che era equivalente a una tavola della funzione seno.
L'Almagesto contiene formule per determinare seno e coseno di somme e differenze
di angoli, e pone le basi della trigonometria sferica, lo studio dei triangoli
proiettati sulla superficie di una sfera. La trigonometria sferica fu al centro
degli studi di Menelao (c. 100 d.C.), il quale rilevò l'importanza degli archi
dei cerchi molto grandi per trattare problemi come quello dei triangoli sferici.
Sebbene in questo periodo siano stati compiuti anche studi sull'algebra, i
matematici dell'antichità non tentarono mai di amalgamare geometria e algebra
come invece fecero i matematici dei secc. XVI e XVII, creando la geometria
analitica. Diversamente, i Greci si dedicarono principalmente alla geometria,
l'unico settore della matematica in cui potevano trattare senza difficoltà con
grandezze continue e con quantità tra loro incommensurabili.
Dopo la caduta dell'impero romano d'Occidente, la tradizione greco-romana fu
trasmessa all'Occidente latino dai bizantini di Costantinopoli e da vari
studiosi di centri culturali quali Isfahan, Jundishapir e Baghdad. Gli studiosi
islamici contribuirono anche alla diffusione delle scoperte matematiche fatte in
India e in Cina. Uno dei primi esempi di ciò è la traduzione del testo indiano
Siddhantas da parte di al-Farazi. Il libro di al Khwarizmi sull'aritmetica
conteneva un'accurata esposizione del sistema numerico indiano, e trasmise
all'Occidente l'idea della notazione posizionale decimale. La scienza araba,
fortemente interessata all'astronomia per motivi legati all'astrologia e alla
compilazione degli oroscopi, prestò una notevole attenzione all'Almagesto di
Tolomeo e allo sviluppo della trigonometria.
L'astronomo al-Battani contribuì al progresso della trigonometria sferica
ed elaborò una tavola delle cotangenti da usare per i calcoli
astronomici.
Il poeta persiano Omar Khayyam si dedicò per lungo tempo allo studio
dell'algebra e della geometria.
Al-Haitham, noto anche come Alhazen, applicò la geometria allo studio della
luce, e Abul-Wafa dette contributi alla trigonometria
sferica.
Al pari degli islamici, gli studiosi dell'Occidente latino arricchirono
dapprima la loro matematica traducendo le opere fondamentali greche o arabe,
specialmente dopo che Toledo fu presa dai cristiani nel 1085.
Leonardo Pisano, meglio conosciuto come Fibonacci, scrisse il suo Liber
Abaci (1202) basandosi sulle conoscenze di aritmetica e algebra accumulate
durante i suoi viaggi. Egli introdusse in Occidente sia il sistema posizionale
decimale arabo sia l'uso delle cifre arabe.
L'innovazione più importante della matematica medievale fu di applicare la
matematica alla fisica, in particolare a problemi di moto uniforme e di moto
accelerato. A questo proposito vanno ricordati lo scolastico francese Nicole
Oresme e un gruppo di matematici fra cui Thomas Bradwardine del Merton College
di Oxford. Con la caduta di Costantinopoli (1453) molti studiosi orientali si
trasferirono nell'Europa occidentale, portando le proprie conoscenze dei
manoscritti greci (e spesso i manoscritti stessi). L'astronomo Georg von
Peuerbach iniziò una traduzione dell'Almagesto di Tolomeo, che fu completata da
uno dei suoi discepoli, Regiomontano.
In Italia gli artisti studiarono Vitruvio, applicarono la geometria alla
costruzione di grandi edifici, e iniziarono lo studio matematico della
prospettiva.
Leonardo da Vinci, Leon Battista Alberti e Piero della Francesca scrissero
trattati sulla matematica della prospettiva.
All'inizio del sec. XVI furono fatti importanti progressi in algebra. In
Italia Niccolò Tartaglia e Scipione Ferro scoprirono
la formula generale per risolvere le equazioni di terzo grado, che fu
quindi pubblicata da Gerolamo Cardano nella sua Ars Magna (1545).
I casi connessi alle radici immaginarie furono trattati da Raffaello
Bombelli nella sua Algebra (1572).
Verso la fine del sec. XVI François Viète mostrò l'importanza dei simboli
usando più (+) e meno (-) per le corrispettive operazioni, e lettere per
rappresentare le incognite. La nuova notazione di Viète contribuì a rendere
possibili i grandi progressi matematici del sec. XVII.
Durante tutto il sec. XVI, in una economia commerciale e mercantile in
continuo sviluppo, presero sempre maggiore importanza la contabilità,
l'esecuzione dei calcoli, la preparazione di tavole trigonometriche e
astronomiche. I matematici studiarono notazioni migliori e metodi sempre più
veloci. Il matematico fiammingo Simon Stevin introdusse l'uso delle frazioni
decimali e John Napier inventò i logaritmi.
Le maggiori scoperte matematiche del sec. XVII furono stimolate dalla
rivoluzione operata in fisica e in astronomia da Copernico, Keplero e Galileo.
Mostrando come si potesse applicare la matematica all'analisi del moto uniforme
e del moto accelerato, Galileo dimostrò che le traiettorie percorse dai
proiettili sono sempre paraboliche.
Il sec. XVII vide anche la nascita della geometria analitica, del calcolo
infinitesimale, della teoria dei numeri e
della teoria delle probabilità.
Nel suo Discorso sul metodo (1637) il filosofo francese René Descartes
innalzò la logica della matematica a paradigma del ragionamento. Nella
innovatrice Geometria, un'appendice al Discorso, egli mise assieme algebra e
geometria sotto forma di geometria analitica. La geometria analitica rese
possibile per la prima volta la rappresentazione grafica delle funzioni, e
consentì di determinare sistematicamente e con notevole precisione le
proprietà di un'ampia classe di curve. Uno dei più importanti contributi della
geometria analitica prima dell'invenzione del calcolo infinitesimale è il ruolo
da essa avuto nella risoluzione del cosiddetto problema delle tangenti, cioè il
problema di determinare la linea tangente a una data curva in un punto
assegnato. Alla soluzione di questo problema lavorarono matematici quali Isaac
Barrow, Bonaventura Cavalieri, Pierre de Fermat, Christian Huygens, Descartes e
William Wallace.
Alla metà del secolo i componenti essenziali del calcolo - la geometria
analitica, i metodi infinitesimali, lo studio delle aree e il problema delle
tangenti - erano già tutti presenti. A distanza di circa dieci anni l'uno
dall'altro, sir Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz scoprirono le
proprietà fondamentali del calcolo infinitesimale e il rapporto di reciprocità
in base al quale gli integrali risultavano essere più facilmente calcolabili in
termini dei loro inversi, le derivate.
Newton scoprì, nel 1665-66, il "calcolo delle flussioni" dopo
aver studiato il lavoro di Barrow e la Aritmetica di John Wallis, il quale aveva
colto una correlazione tra la quadratura delle aree e la determinazione delle
tangenti alle curve. Newton, che giunse al calcolo infinitesimale avendo chiare
in mente le applicazioni alla fisica, pensava le curve come generate dal
movimento di punti e concepiva le derivate come velocità. Diversamente il
calcolo di Leibniz, studiato tra il 1673 e il 1676, fu influenzato dalle
geometrie di Descartes, Huygens e Pascal. Il primo resoconto sul calcolo
differenziale di Leibniz fu pubblicato nel 1684, seguito dal calcolo integrale
nel 1686. Leibniz inventò simboli di una tale chiarezza operativa che divennero
rapidamente la notazione standard per il nuovo calcolo; i simboli per i
differenziali e per l'integrale compaiono nei lavori sul calcolo di Leibniz. La
matematica del sec. XVIII fu caratterizzata da una ulteriore elaborazione del
calcolo differenziale e integrale. In generale, i matematici abbandonarono il
calcolo delle flussioni newtoniano in favore dei nuovi metodi elaborati da
Leibniz.
Jakob Bernoulli e suo figlio Johann studiarono le opere di Leibniz e
svilupparono notevolmente le tecniche del calcolo e l'integrazione delle
equazioni differenziali ordinarie. Verso la metà del secolo Leonhard Euler, che
studiò anche le serie infinite, stabilì la ben nota identità trigonometrica,
dimostrò molti teoremi fondamentali del calcolo e sviluppò una teoria delle
equazioni differenziali. Fortemente influenzato dal prodigioso lavoro di Euler,
il matematico francese Joseph Louis de Lagrange cercò di accrescere il rigore
della matematica evitando l'intuizione a favore di dimostrazioni puramente
analitiche. I suoi importanti testi (del 1797 e 1801) miravano a costruire il
calcolo su base rigorosa sviluppandolo algebricamente, senza alcun riferimento
alla geometria e a un qualunque tipo di intuizione. Come i critici di Newton e
di Leibniz, che diffidavano dei concetti di limite e degli infinitesimi
"che diventano zero", Lagrange rifiutò il metodo dei limiti e iniziò
invece lo studio delle funzioni mediante le loro serie di Taylor, rendendo così
possibile tale studio in termini puramente algebrici. Il successo di questa
impostazione fu tuttavia limitato da difficoltà concernenti la convergenza di
tali serie, come pure dalla scoperta di funzioni che non ammettevano uno
sviluppo in serie di Taylor.
Alla fine del secolo Pierre Simon de Laplace, nel suo Trattato di meccanica
celeste (1799-1825), dette una rigorosa sistemazione del sistema fisico
newtoniano utilizzando i migliori strumenti matematici allora disponibili.
Teoria dei numeri e probabilità. I secc. XVII e XVIII videro anche un notevole
interesse per la teoria dei numeri e la probabilità. In entrambe le discipline
si distinse Pierre de Fermat (1601-1665), il cui studio delle probabilità ebbe
origine nel contesto dei giochi d'azzardo, e successivamente trovò importanti
applicazioni nel mondo degli affari, particolarmente nelle assicurazioni ma
anche nella compilazione di tavole di mortalità.
A cominciare dal sec. XIX i matematici furono per lo più insegnanti di
scuola o università, piuttosto che membri di corti e accademie. Inoltre,
sebbene i matematici continuassero a occuparsi dei problemi della fisica e
dell'astronomia, anche la matematica pura - staccata dai problemi della fisica -
si sviluppò sempre più rapidamente e autonomamente. Il calcolo si estese
diventando analisi (quel settore che fa uso di concetti del calcolo come quello
di limite), e si ebbero notevoli progressi in geometria e
teoria dei numeri.
In Germania il lavoro di Carl Friedrich Gauss coprì le più importanti aree
della matematica pura e applicata, facendo da ponte tra la matematica del sec.
XVIII e la matematica moderna. Il più rilevante dei suoi lavori, pubblicato nel
1801, fornì una nuova e approfondita indagine sulla teoria dei
numeri. Gauss
riuscì anche a dare una interpretazione fisica dei numeri
complessi (i numeri che contengono componenti sia reali sia immaginarie)
rappresentandoli come punti su di un piano bidimensionale, un risultato che
contribuì notevolmente a dare rispettabilità matematica ai numeri complessi.
Nel campo della matematica applicata Gauss studiò la geodesia e i movimenti
planetari, e scrisse un fondamentale trattato sul metodo
dei minimi quadrati. Gli appunti e i manoscritti rimastici di Gauss
mostrano che egli aveva scoperto anche la geometria non euclidea.
I libri di testo di Augustin Lous Cauchy, pubblicati nel 1821 e 1823 e
destinati agli studenti della famosa École Politechnique francese
(fondata nel 1794), concernevano principalmente lo sviluppo dei teoremi
fondamentali del calcolo nel modo più rigoroso possibile.
Fra gli altri matematici francesi che scrissero importanti testi collegati
alla loro attività di insegnamento si ricordano A. M. Legendre, G. Monge e S.
F. Lacroix.
All'insegnamento di Monge nell'École Politechnique si formò una
generazione di geometri quali J. B. Biot, J. V. Poncelet, C. Dupin e J. Hachette.
L'École Politechnique produsse anche lavori di pari importanza nel
settore della matematica applicata.
La fisica matematica vide rapidi progressi a opera di teorici quali Lagrange,
Monge, Joseph Fourier, S. D. Poisson e Cauchy, come pure di A. M. Ampère,
Gaspard de Coriolis, Louis Poinsot e Jean Poncelet.
Nell'ambito dello studio matematico del calore, Fourier stabilì che
qualunque funzione può essere rappresentata attraverso una serie trigonometrica
di forma specifica, le cosiddette serie
di Fourier, che occupano un posto centrale nella analisi di Fourier.
Il matematico tedesco Peter Gustav Dirichlet fu il primo a sviluppare
rigorosamente l'uso delle serie di Fourier. Altri matematici dell'epoca che
realizzarono significativi progressi in analisi furono il norvegese Niels Henrik
Abel e il tedesco Carl Gustav Jacob Jacobi. Oltre ai suoi contributi
all'analisi, Dirichlet dimostrò la fecondità e la potenza dell'applicazione di
tecniche analitiche allo studio della teoria dei numeri.
L'influenza più immediata Dirichlet la esercitò sul suo discepolo Bernhard
Riemann. Nella sua indagine sulle funzioni di variabile complessa, Riemann
introdusse il concetto di superficie di
Riemann, collegando così la topologia con l'analisi. Riemann scrisse
inoltre lavori sui fondamenti della geometria e sullo studio delle serie
trigonometriche. In teoria dei numeri applicò (1859) la teoria dei numeri
complessi per determinare la distribuzione dei numeri primi. La scoperta di
Riemann di una funzione continua ma non
differenziabile mostrò l'inadeguatezza dell'intuizione geometrica come guida
nell'analisi; in effetti i matematici avevano sempre dato per scontato
che una qualunque funzione continua possedesse necessariamente una
derivata.
Tra i più importanti matematici del sec. XIX che insistevano sulla
necessità di nuovi metodi di analisi fu Karl Theodor Weierstrass, il quale pose
l'accento sul rigore derivante dal procedere aritmeticamente - definendo, a
esempio, i numeri irrazionali come
limiti di successioni convergenti.
Leopold Kronecker, collega di Weierstrass a Berlino, si oppose con forza
all'impostazione data da Weierstrass all'analisi sostenendo, invece dell'uso di
processi infiniti, la riduzione di tutta la matematica a ragionamenti che
comportassero solo i numeri interi e procedure consistenti in un numero finito
di passi. Kronecker è ben noto per l'affermazione: "Dio ha creato gli
interi - tutto il resto è opera dell'uomo". L'opposizione di Kronecker ad
un qualunque uso dell'infinito in matematica fu il motivo per cui questi si
schierò nettamente contro la teoria degli insiemi transfiniti creata da Georg
Cantor attorno al 1880. La grande importanza della teoria
degli insiemi, particolarmente per l'analisi e la topologia, fece tuttavia
sì che questa venisse infine accettata dai matematici, nonostante l'iniziale
opposizione all'idea di infinito. Cantor, come pure Weierstrass e Richard
Dedekind, svilupparono anche una teoria dei numeri irrazionali.
Nel sec. XIX si assiste anche a un rapido progresso, pari a quello compiuto
in analisi, per quello che riguarda la geometria e i nuovi campi d'indagine da
questa originati. La geometria proiettiva fu contemporaneamente scoperta
all'inizio del secolo da Gergonne e Poncelet.
Negli anni Venti numerosi tedeschi, tra cui Jakob Steiner e K. G. C. von
Staudt, ampliarono notevolmente la geometria sintetica, mentre August Ferdinand
Möbius e Julius Plücker in Germania, Michel Chasles in Francia e Arthur
Cayleyin Inghilterra indagarono a fondo la geometria algebrica. Möbius è anche
noto per i suoi lavori pionieristici in topologia, e per la sua striscia
di Möbius, una superficie che consta di un solo lato.
Una delle scoperte più controverse del sec. XIX è quella delle geometrie
non euclidee, che furono ottenute dopo numerosi vani tentativi di dimostrare il
postulato delle parallele di Euclide a partire dai restanti assiomi.
Contemporaneamente, Nikolaj Ivanovic Lobachevskij e Jànos Bolyai si resero
conto (come, prima di loro, Gauss) che si potevano introdurre assiomi
alternativi a quello delle parallele in modo che le risultanti geometrie,
sebbene non euclidee, fossero perfettamente consistenti. In seguito, Hermann
Grassmann estese ulteriormente l'ambito della geometria; i suoi lavori portarono
all'analisi vettoriale degli spazi affini e metrici. Dalla geometria si
sviluppò anche la topologia, nota nel sec. XIX come analysis situs,
così come fece nel secolo XX il concetto di dimensioni frazionarie (v.
geometria dei frattali). Verso la fine del secolo, i matematici francesi
entrarono in concorrenza con quelli tedeschi. A seguito della dimostrazione
dell'esistenza di numeri trascendenti data da Joseph Liouville, Charles Hermite
dimostrò nel 1873 che e è trascendente, e successivamente nel 1882 F.
Lindemann stabilì che anche è trascendente. Hermite divenne il principale
esponente degli analisti francesi della fine del secolo. Tra i suoi
contemporanei e discepoli vi erano figure quali René Baire, Émile Borel,
Jacques Salomon Hadamard, Enry Leon Lebesgue e C. E. Picard.
Il più grande matematico francese della fine del secolo fu Henri Poincaré,
i cui interessi spaziarono su quasi tutti i settori della matematica creativa.
Ad esempio, la sua osservazione che sistemi apparentemente deterministici
potevano mostrare un comportamento caotico, anticipavano la teoria del CAOS del
secolo XX (vedi anche catastrofi, teoria delle). Mentre analisi e geometria
ricevettero grande attenzione nel continente, i matematici inglesi si
orientarono verso lo studio dell'algebra e le sue applicazioni alla geometria.
La matematica continentale fu tuttavia poi diffusa in Inghilterra da matematici
quali Charles Babbage, sir John Herschel e George Peacock, tutti esponenti della
Analytical Society (Società analitica).
L'algebra in Inghilterra prese anche la forma di algebra di Boole,
presentata da George Boole nell'opera "Indagine sulle leggi del pensiero"
(1854); l'algebra di Boole fu il primo di una serie di importanti contributi
dati dagli studiosi inglesi alla logica simbolica; essi culminarono nel lavoro
di Bertrand Russell e Alfred North Whitehead nel sec. XX.
Altri settori che divennero centrali alla riflessione matematica del sec. XX
sono lo studio delle serie divergenti, l'analisi tensoriale e la geometria
differenziale, come pure l'algebra astratta, comprendente lo studio di campi,
gruppi e anelli.
La teoria dei gruppi, cui sono associati i nomi di Evariste Galois e di
Camille Jordan, fu una delle grandi scoperte e dei princìpi unificanti della
fine del sec. XIX. La teoria dei gruppi rese possibile l'unificazione di
geometria e algebra; a questo proposito Hermann Helmholtz e Sophus Lie
mostrarono quanto lo studio dei gruppi di trasformazioni fosse in grado di
arricchire il lavoro di Riemann. Le idee di Lie furono in seguito portate avanti
dal matematico francese Elie Cartan.
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