Numeri
Un numero è un'invenzione dell'uomo causata dalla necessità di dare una
misura alle cose.
I popoli primitivi avevano solo un concetto molto grossolano di numero. Il
crescente raffinamento ha richiesto un'idea sempre più larga di quello che è
un numero. Ciò ha portato spesso a controversie, alcune delle quali si
riflettono nella terminologia scelta come, per esempio, numeri irrazionali e
numeri immaginari. La capacità di contare iniziò distinguendo tre soli valori:
1, 2, molti; essa lentamente si è evoluta finché i numeri consistettero di 1,
2, 3, 4, ... ossia di quello che noi chiamiamo i numeri
naturali o interi positivi.
Tali numeri descrivono quanti elementi ci sono in un insieme di oggetti e sono
detti numeri cardinali. Una successione di numeri associata ai numeri cardinali
è quella di numeri ordinali, che
descrive come gli elementi dell'insieme sono ordinati, cioè come sono
posizionati: per esempio, primo (I), secondo (II), terzo (III) e quarto (IV).
Con il progredire del grado di civiltà divenne necessario misurare parti
delle cose. Inizialmente il concetto di frazione fu evitato dividendo le unità
esistenti in unità più piccole, come la divisione di un'ora in 60 minuti. A
partire dal 1500 a.C., tuttavia, gli Egizi (e forse i Babilonesi prima di loro)
svilupparono l'uso delle frazioni, o dei numeri
razionali positivi. La matematica progrediva e fu iniziato uno studio
sistematico della geometria. Il possedere teoremi matematici precisi per la
misura di oggetti geometrici astratti si dimostrò estremamente utile nelle
costruzioni e in vari arti. In particolare, i Greci scoprirono, per mezzo del
teorema di Pitagora, che in un quadrato con i lati di lunghezza uno la lunghezza
della diagonale d è un numero il cui quadrato è due (d² = 2). All'inizio essi
tentarono di trovare un numero razionale il cui quadrato fosse due, ma alla fine
dimostrarono (intorno al 460 a.C.) che d = radice di 2 non è razionale. Il
concetto di numero allora dovette essere esteso per comprendere questi numeri
irrazionali.
Un altro numero misterioso nasce in maniera naturale: si tratta di pi greco,
rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il suo diametro. I greci non
furono capaci di decidere se pi greco fosse o meno razionale, ma nel 1761 fu
dimostrato da Johann Lambert che esso è irrazionale. Nel contempo cominciò a
emergere l'idea dei numeri negativi (in Cina intorno al 200 a.C. e più tardi
nel mondo occidentale), ma il concetto di numero non fu allargato realmente fino
a includere i numeri negativi fino al sec. XVI. Il
concetto di zero fece la sua comparsa intorno al sec. IX in India (e
indipendentemente nella cultura maya). Esso fu usato inizialmente come un
indicatore di posizione nella notazione numerica e fu alla base dello sviluppo
del sistema di numerazione indo-arabo, ancora in uso. Con l'invenzione dei
"procedimenti infiniti" usati nel calcolo infinitesimale, e con l'uso
dei decimali, il concetto di numero poté essere esteso ulteriormente per
comprendere tutti i decimali infiniti.
Questo allargamento era lecito? O i soli numeri possibili erano le radici di
equazioni polinomiali (numeri algebrici)? Nel 1851 Joseph Liouville dimostrò
che esistono altri tipi di numeri, e nel 1873 Georg Cantor mostrò che in un
certo senso quasi tutti i numeri sono numeri trascendenti, cioè non sono
algebrici. Inoltre, fu provato che pi greco è un numero trascendente. Il
concetto di numero sta ancora estendendosi. Molto presto si capì che radice di
-1 non è un numero nel senso più usuale del termine. Ciò ha portato ai numeri
immaginari puri e ai numeri
complessi. Inoltre sono stati inventati i quaternioni
e altri tipi di numeri. Nella matematica moderna vengono inventati via via altri
tipi di numeri, come a esempio gli infinitesimi usati nell'analisi non
standard.
Un numero decimale è un numero frazionato che ha per denominatore una
potenza di 10, e cioè 10, 100, 1000 ecc. La notazione per queste frazioni può
essere abbreviata con l'uso della virgola decimale al posto dell'uso del
denominatore. Il numero di cifre a destra della virgola è uguale all'esponente
di 10 nel denominatore della frazione decimale corrispondente.
Un numero razionale viene definito come il quoziente
di un numero intero e un numero intero non nullo; cioè è un numero che
può essere scritto in forma di frazione.
Per esempio, 3/2, -2/3 e 1072/83 sono tutti numeri razionali, come pure lo
sono 0 = 0/1, 1 = 1/1, 2 = 2/1 e così via.
Ogni intero n è uguale a n/1 e quindi è un numero razionale.
Dato un numero razionale a/b, a è detto numeratore
e b denominatore. Ogni numero
razionale ha più rappresentazioni come quoziente di due interi: 2/3 = 6/9 =
8/12 = 18/27. La frazione a/b è detta ridotta,
o ai minimi termini, se gli interi a e b non hanno fattori comuni (nell'esempio
precedente, 2/3 è ai minimi termini).
Due numeri razionali a/b e c/d sono uguali purché ad = bc.
Tutti i calcoli numerici eseguiti normalmente (o con i calcolatori) sono in
realtà fatti con numeri razionali. Tutti i numeri irrazionali con cui si ha a
che fare vengono alla fine approssimati da numeri razionali per i calcoli
numerici.
Un numero irrazionale è un numero non razionale, cioè non
esprimibile come rapporto tra due interi. La decisione se un numero è
irrazionale o no è un problema che ha impiegato i matematici in tutte le epoche
a partire dai Greci nel sec. XV a.C.
I numeri irrazionali sono divisi in due classi: i numeri algebrici e quelli
non algebrici, detti trascendenti.
L'insieme di tutti i numeri razionali e di tutti i numeri irrazionali
costituisce l'insieme dei numeri reali. Ogni numero razionale a/b, dove a e b
sono interi e b diverso da 0, possono venire scritti sia come un decimale con un
numero finito di cifre che come un decimale periodico.
Per esempio, 2 = 2,0, -3 = -3,0, 5/2 = 2,5 e -1/4 = -0,25 sono tutti numeri
razionali che possono essere scritti con un numero finito di cifre. Invece, 1/3
= 0,333.... e 2/7 = 0,285714285714... sono esempi di decimali periodici. Cioè,
nella rappresentazione decimale di 1/3, il numero 3 viene ripetuto
indefinitamente; nello stesso modo, la sequenza di numeri 285714 si ripete nel
decimale 2/7.
Viceversa, si può dimostrare che ogni decimale con un numero finito di
cifre, o periodico, è uguale a un numero razionale. Quindi l'insieme dei numeri
razionali è uguale all'insieme dei decimali con un numero finito di cifre, o
periodici. E' possibile invece scrivere numeri decimali che non hanno cifre in
numero finito e che non sono periodici. Un numero di questo tipo è
0,123456789101112131415... in cui sono stati scritti i numeri naturali 1, 2, 3,
4, ... uno dopo l'altro. Un altro è 5,101001000100001000001... dove gli zeri
inseriti tra le cifre uno aumentano di un'unità passando da un gruppo al
successivo. Numeri rappresentabili da
decimali senza termine e non periodici sono numeri irrazionali; per
esempio radice di 2, radice cubica di 5 e pi greco. Quindi l'insieme dei numeri
reali può essere descritto come l'insieme di tutti i decimali, con numero
finito di cifre, periodici e con numero indefinito di cifre.
Un numero complesso è un numero che può essere scritto nella forma a + ib,
dove a e b sono numeri reali e i è definito come radice di -1.
La conoscenza e l'uso dei numeri complessi sono essenziali in molti settori
della scienza e dell'ingegneria specialmente per
la soluzione di molte equazioni differenziali che si incontrano in questi
settori. La necessità dei numeri complessi nacque nello studio della soluzione
delle equazioni algebriche. I numeri negativi sono necessari per risolvere
equazioni come x + 4 = 3, che ha per soluzione -1; le frazioni per risolvere
equazioni come 2x = 2, che ha per soluzione 3/2; i numeri irrazionali per
risolvere equazioni come x² = 2, che ha per soluzioni radice di 2 e - radice di
2. Nello stesso modo i numeri complessi sono necessari per risolvere equazioni
del tipo x² + 1 = 0 perché non ci sono soluzioni nel campo nei numeri reali
per questa equazione. In questo esempio particolare è x² = 0 qualunque sia il
numero reale x, e quindi x² + 1 = 1 per qualsiasi numero reale x. Poiché non
ci sono soluzioni reali è stato inventato un nuovo numero, i, tale che i² = -1
e quindi i² + 1 = 0. Poiché l'equazione x² = 2 ha per soluzione x = radice di
2 per analogia la soluzione di i² = -1 si scrive i = radice di -1. Se b viene
posto uguale a zero, il numero complesso a + ib si riduce al numero reale a;
quindi i numeri reali sono un caso particolare dei numeri complessi. Invece,
ponendo a = 0 in a + ib si ottengono numeri complessi della forma 0 + ib, o
semplicemente ib, che si chiamano spesso immaginari
puri, nome che trae origine dal periodo in cui i numeri complessi non
erano ancora stati accettati. I numeri complessi possono essere rappresentati
come punti su un piano coordinato in cui l'asse orizzontale è l'asse dei numeri
reali (asse reale) e l'asse verticale è l'asse degli immaginari puri (asse
immaginaria), come mostrato nella figura per il numero 2 + i3.
Tale rappresentazione è nota come diagramma
di Argand, dal nome del suo inventore, il matematico svizzero francese
Jean Robert Argand (1768-1822). I numeri complessi furono introdotti dal
matematico italiano Raffaele Bombelli (c. 1526-1573), ma solamente in un modo
molto casuale. Tali numeri iniziarono a giocare un ruolo significativo nella
matematica solo più di 100 anni più tardi.
Si chiamano numeri algebrici le soluzioni delle equazioni algebriche a
coefficienti razionali. I numeri che non sono algebrici si dicono trascendenti.
Essi non sono soluzioni di equazioni algebriche.
Copyright © 2002 Motta Editore
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