Algebra
In origine il termine algebra si riferiva unicamente ai metodi per risolvere
le equazioni. In seguito, tuttavia, il campo dell'algebra si è venuto
gradualmente ampliando fino ad includere molti altri argomenti. L'algebra
è ora uno strumento indispensabile in altri rami della matematica, come il
calcolo infinitesimale, e in quasi ogni parte della matematica applicata.
Fin dal 2000 a.C. i Babilonesi e gli Egiziani formularono dei problemi come
quelli che si possono trovare oggi nei testi elementari di algebra. Per esempio
il problema n° 24 del papiro Rhind, datato circa 1650 a.C., chiede quale è il
valore di un "mucchio" se il mucchio e 1/7 di mucchio è 19.
Con terminologia e notazione moderna questo problema si può formulare
così: "Quale numero sommato a 1/7 del numero stesso dà 19?".
Possiamo usare una lettera, ad esempio x, per rappresentare il numero
incognito e scrivere l'equazione
x + 1/7x = 19 (1)
Trovare un numero x tale che x + 1/7 = 19 si chiama risolvere
l'equazione.
Imparare ad usare lettere per scrivere equazioni che descrivono problemi di
aritmetica, biologia, chimica, economia, ingegneria, geometria e fisica, e
imparare a risolvere tali equazioni, sono gli scopi principali dell'algebra
elementare.
Facciamo l'esempio di un problema che si potrebbe incontrare in un
laboratorio di chimica:
"Quanti litri d'acqua si devono aggiungere a 2 litri di una soluzione
di acido al 30% per ottenere una soluzione al 20%?".
Per risolvere questo problema si può fare il ragionamento seguente:
in primo luogo la quantità iniziale di acido sarà uguale alla quantità
finale, dato che si deve aggiungere soltanto acqua.
Inoltre il numero di litri di acido all'inizio è il 30% di 2 litri, che è
0,30x2=0,60.
Ora se x è il numero di litri d'acqua che dobbiamo aggiungere, la quantità
totale di liquido ottenuto sarà x+2 litri e di questo solo il 20% dovrà essere
acido. Perciò il numero di litri di acido alla fine è il 20% di (x+2), che è
uguale a 0,20 (x+2). Perciò l'equazione che dobbiamo risolvere è
0,60 = 0,20 (x+2) (2)
Le equazioni (1) e (2) sono esempi di equazioni lineari ad una variabile; i
metodi per risolvere tali equazioni sono una parte importante dell'algebra
elementare.
I procedimenti per risolvere le equazioni o i sistemi di equazioni possono
risultare molto complicati. Essi sono, tuttavia, basati tutti su un certo numero
di proprietà fondamentali dei numeri.
Per risolvere l'equazione (1) sono necessarie le proprietà seguenti.
1) Per ogni numero x: 1·x=x (proprietà
moltiplicativa del numero 1) Per indicare la moltiplicazione è
abituale in algebra usare un punto centrato (·) invece che un segno di
moltiplicazione (x).
2) Per tutti i numeri x, y, e z: xz+yz=(x+y)z (legge
distributiva) In algebra xz significa x volte z, yz significa y volte
z, e (x+y)z significa (x+y) volte z.
3) Se x=y allora zx=zy (è una proprietà
dell'uguaglianza)
4) Per tutti i numeri x, y, e z: x(yz)=(xy)z (legge
associativa della moltiplicazione).
In aggiunta ai numeri dell'aritmetica ordinaria (numeri interi e frazioni),
l'algebra tratta dei numeri negativi, dei numeri razionali e dei numeri
complessi (v. numeri).
Il primo a sviluppare sistematicamente i numeri negativi fu il matematico
indiano Aryabhata, nel sec. VI, che li usò per risolvere equazioni come x + 3 =
2 la cui soluzione è il numero negativo -1.
I numeri irrazionali, come radice di 2 e pi greco, che non si possono
esprimere come frazioni, furono scoperti per primi dai Greci nel sec. V a.C. Da
allora i matematici li usarono estesamente, senza tuttavia analizzarli
accuratamente fino al sec. XIX.
I numeri complessi, come le soluzioni dell'equazione x² + 1 = 0, furono
sviluppati nel sec. XVI, ma non furono generalmente accettati fino alla fine del
XVIII.
Qualsiasi fosse il tipo di numeri o la notazione usata, l'algebra, fino a un
tempo relativamente recente, era fatta in modo piuttosto meccanico, adoperando
regole che funzionavano ma senza domandarsi perché funzionassero. Non fu che ai
primi del sec. XIX che matematici come George Peacock (1791-1858) e George Boole
cominciarono a studiare le proprietà fondamentali dei numeri, come la
proprietà distributiva, che formano le basi dell'algebra.
Come avviene per le scienze empiriche, il pensiero dell'algebra è maturato
attraverso il lento sviluppo di famosi teoremi. Un esempio è il teorema
del binomio, attribuito di solito a Pascal (sec. XVII), ma già noto
sostanzialmente diversi secoli prima di lui. Questo teorema mostrava come si
possono espandere le espressioni binomiali e risultò utile per gli studi sulle
serie matematiche e in definitiva per il calcolo.
Nelle espressioni algebriche le costanti e i coefficienti sono numeri che
non cambiano, mentre alle variabili può essere sostituito un insieme di valori.
Mettendo insieme i singoli termini algebrici (detti monomi) si ottengono i
polinomi. Le equazioni sono caratterizzate dal grado dei polinomi che vi
compaiono, e soprattutto dal numero delle variabili e dal loro esponente. Quando
le soluzioni delle equazioni vengono riportate in grafico appare evidente il
legame tra l'algebra e la geometria.
Nelle equazioni lineari, dette anche di primo grado, le variabili compaiono
solo con l'esponente uno e non sono mescolate tra loro. Le loro soluzioni,
riportate in un sistema di coordinate cartesiane, sono rappresentate da punti,
rette o piani a seconda che l'equazione contenga una, due o tre variabili.
Se in una equazione figurano variabili con esponente due (e non maggiore)
l'equazione si dice di secondo grado, o quadratica. Le sue soluzioni, riportate
in grafico, danno luogo a figure più complesse. Ad esempio, il grafico
dell'equazione x²+y²+z²=9 è una sfera. Le equazioni (e i sistemi di
equazioni) algebriche sono usate a volte per costruire, o definire, strutture
geometriche (v. geometria analitica). D'altra parte, a volte si possono
utilizzare metodi grafici per trovare la soluzione di problemi algebrici (come
avviene in chimica e in fisica).
All'incirca nello stesso periodo, altri matematici cominciarono a studiare
altri tipi di sistemi algebrici, in cui gli elementi da considerare non erano
più i numeri, e le cui proprietà, benché in un certo senso simili a quelle
dei numeri, in realtà ne erano differenti. Per esempio verso il 1850 Arthur
Cayley sviluppò l'algebra delle matrici. All'inizio le matrici furono
sviluppate basandosi su concetti matematici astratti (la teoria delle
trasformazioni lineari), ma ben presto divennero un aiuto indispensabile in
molte applicazioni della matematica. In generale
le matrici sono usate come metodo semplificativo per manipolare sistemi di
equazioni algebriche.
Lo studio di insiemi in cui è
definita una sola operazione portò, circa nello stesso periodo di tempo
in cui furono studiate le matrici, ad un altro concetto basilare della
matematica di oggi: il gruppo.
Anche i gruppi, come le matrici, furono sviluppati all'inizio basandosi su
concetti matematici astratti, ma ben presto la teoria dei gruppi trovò molti
usi in altre parti della matematica e in campi come la matematica applicata o la
meccanica quantistica. Come esempio di un gruppo consideriamo i cinque modi in
cui tre lettere scritte in un certo ordine possono essere riscritte in un ordine
differente. Vi sono un totale di sei permutazioni, inclusa la disposizione
originale.
Nel corso del secolo XX è proseguita la tendenza verso una classificazione
rigorosa e uno studio dei sistemi algebrici caratterizzato da una definizione
stretta degli elementi e delle operazioni; ciò ha dato luogo, oltre che alle
teorie dei gruppi, a teorie che trattano dei campi, degli anelli e dei
reticoli.
Un campo è un sistema per il
quale sono state definite le proprietà di addizione e di moltiplicazione.
Esempi di campi sono l'insieme dei numeri razionali e quello dei numeri
reali.
Gli anelli sono sistemi che
soddisfano un numero minore di postulati; ad esempio, un anello può godere o no
della proprietà di commutazione. Esempi di anelli sono l'insieme dei numeri
interi positivi e l'insieme di tutti i polinomi a coefficienti interi.
I reticoli sono sistemi
ristretti nei quali l'associazione di coppie di elementi soddisfa regole
particolari.
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