Limite
Lo studio del concetto matematico di limite segna il passaggio dalle
matematiche elementari a gran parte della matematica superiore, incluso il calcolo
infinitesimale.
Il tipo più importante di limite è il limite di una funzione.
Una funzione può essere considerata come una macchina programmata in modo
da accettare un dato numerico in ingresso e che produce un dato numerico in
uscita.
Per esempio, l'uscita può essere il quadrato del dato in ingresso.
Se una funzione è indicata con f, e il dato in ingresso, o variabile
indipendente, è x, l'uscita corrispondente, o variabile dipendente, è indicata
con f(x), che si legge "f di x".
"Il limite di f di x per x tendente ad a è L" è espressione
significante che il valore limite L può essere approssimato da f(x) entro
qualsiasi grado di precisione pur di prendere x sufficientemente vicino ad a.
Notiamo che non è richiesto che x assuma il valore a, e in ogni caso non è
detto che f(a) sia uguale a L. Più precisamente, l'espressione precedente è
l'affermazione che dato un valore D alla tolleranza sulla distanza tra f(x) e L,
è possibile trovare un valore d della tolleranza sulla distanza tra x e a, tale
che f(x) sia entro la distanza D da L, se x è entro la distanza d da a.
Sebbene una successione matematica non sia che un tipo particolare di
funzione, è utile considerare separatamente il limite di una successione a
causa dell'importanza delle successioni stesse.
Una successione è una sequenza di enti matematici dette membri o
termini.
La successione 1, 4, 9, 16 è una successione finita, perché è formata da
un numero finito di termini (quattro in questo caso).
La successione a1, a2, a3, ..., an-1,
an è una successione infinita (perché ha un numero infinito di
termini).
Possono avere limiti sole le
successioni infinite, anche se non tutte le successioni infinite ne hanno;
invece una successione finita ha un termine così che non si può avvicinare
indefinitamente a nessun valore limite.
Una successione può essere individuata dando una formula esplicita per il
suo termine generale an. "Il limite di an per n che
tende all'infinito è L", significa che L può essere approssimato con
precisione arbitraria da an pur di prendere n sufficientemente
grande. Più precisamente, se si assume un valore D per la tolleranza sulla
distanza tra an e L, è possibile trovare un intero N (che dipende da
D) tale che per n maggiore di N i termini an cadono entro una
distanza D da L.
Le successioni infinite che ammettono limite sono dette convergenti,
mentre quelle che non hanno limite sono dette divergenti.
Vedi anche: continuità.
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