Matematica
La matematica è lo studio dei numeri, degli insiemi di punti e di vari
elementi astratti, delle relazioni
che intercorrono tra di essi e delle operazioni
che si possono compiere su di essi.
La matematica si occupa di misura, ordine, forma e altre relazioni tra le
varie quantità. Per la storia della matematica si veda storia
della matematica.
La matematica può essere considerata in maniera varia: un linguaggio,
un'arte, una scienza, uno strumento, un gioco.
Un linguaggio è un insieme convenzionale di simboli o di suoni; la
matematica può essere considerata il linguaggio usato per esprimere misura e
ordine. Le equazioni e disuguaglianze sono frasi matematiche. Le costanti
corrispondono ai nomi mentre le variabili sono i corrispondenti dei
pronomi.
I concetti matematici si accordano tra loro in maniera armoniosa. Esiste una
forma di bellezza nelle figure, nelle relazioni e nella simmetria in geometria e
in aritmetica. Lo sviluppo di nuove teorie, di concetti e di sistemi matematici
sono soddisfacenti dal punto di vista estetico. Lo studio della matematica
allora può essere uno sforzo appagante esattamente come lo studio della storia,
della letteratura o della musica.
La matematica è la scienza del ragionamento logico, in cui vengono ricavate
conclusioni valide a partire da un insieme di assiomi (v. logica). Essa comporta
la ricerca della verità. E' rigorosa e precisa. Anche se alcune teorie scoperte
2000 anni fa sono ancora valide, la matematica subisce continui sviluppi e
cambiamenti.
La matematica è uno strumento in quanto essa contiene in se stessa la
capacità di risolvere i problemi; di organizzare, semplificare e interpretare i
dati; di eseguire i calcoli necessari nella scienza, negli affari e
nell'industria. Lo sviluppo di elaboratori e di macchine calcolatrici ha reso
possibile ai matematici la soluzione di problemi che prima erano estremamente
difficili o impossibili da risolvere. Alcuni settori della matematica sono stati
sviluppati apposta per la soluzione di particolari problemi. Uno
dei successi della matematica è il poter risolvere un problema in maniera
sistematica così che problemi simili possono essere risolti più facilmente
nello stesso modo.
Ognuno può creare un insieme di regole coerenti e di regolamenti (assiomi)
e procedere per mezzo del ragionamento logico per inventare ed eseguire il gioco
(v. matematici, giochi). Coloro che considerano la matematica un gioco si
divertono sviluppando nuove matematiche e risolvendo problemi insoluti.
Alcuni settori della matematica sono stati sviluppati per risolvere certi
problemi fisici o per spiegare certi fenomeni fisici.
Per esempio, nello studio dell'astronomia Johannes Kepler trovò necessario
sviluppare una nuova matematica. D'altro canto, talvolta i calcoli matematici
portano alla scoperta di nuovi fenomeni fisici. Le deviazioni del moto di
Nettuno dalle predizioni della teoria matematica portarono alla conclusione che
esisteva un pianeta incognito. Calcoli esatti indicarono la posizione di questo
corpo e portarono alla scoperta del pianeta Plutone (1931).
Oggi la matematica può essere divisa in matematica
pura e matematica applicata.
La matematica applicata si occupa
della soluzione di problemi pratici in campi come la fisica, l'economia, gli
affari, la navigazione e l'astronomia.
La matematica pura si occupa dello studio delle proprietà astratte delle
quantità matematiche e dei sistemi, indipendentemente dalle applicazioni.
Quando si trova una nuova applicazione, un argomento che fino allora era
stato considerato di matematica pura può divenire una parte della matematica
applicata.
La scienza dei computer, la probabilità, la statistica, e la ricerca
operativa sono spesso considerate parti della matematica applicata, mentre
l'algebra astratta, la teoria dei numeri e la topologia sono generalmente
considerate parti della matematica pura.
La matematica può anche essere suddivisa in branche a seconda degli
elementi o degli assiomi che essa usa. Alcune grosse branche possono a loro
volta essere suddivise in più rami. Ogni branca in genere è fatta di
definizioni, di termini non definiti, di elementi, di assiomi, di operazioni, di
relazioni e di teoremi.
L'aritmetica studia i numeri e le operazioni fondamentali (addizione,
sottrazione, moltiplicazione e divisione) e le estensioni di queste (elevazione
a potenza ed estrazione di radice). L'aritmetica talvolta è detta l'arte del
calcolo.
L'algebra include le operazioni dell'aritmetica. I numeri incogniti sono
rappresentati da simboli detti variabili. Le espressioni matematiche aperte
(equazioni e disuguaglianze che includono variabili) vengono risolte per le
"incognite". I sistemi di equazioni vengono usati per risolvere i
problemi pratici. La soluzione di sistemi di equazioni lineari porta allo studio
dell'algebra lineare, nella quale gli elementi sono matrici e vettori (v.
matrice).
L'algebra astratta è lo studio di sistemi che soddisfano certi insiemi di
assiomi. Alcune di queste strutture sono campi, anelli, gruppi, domini (v.
gruppi, teoria dei). Gli elementi che vengono usati nell'algebra astratta
possono essere numeri, vettori o anche trasformazioni geometriche.
La geometria è un settore della matematica che si occupa degli insiemi di
punti in un piano o nello spazio. Lo studio delle curve piane, degli angoli, dei
poligoni e delle rette è detto geometria piana. Lo studio delle superfici nello
spazio tridimensionale, come le sfere, i coni, i cilindri e i poliedri, è detto
geometria solida. Intorno al 300 a.C. Euclide stabilì un insieme di assiomi per
la geometria.
Nella geometria euclidea tutti questi assiomi sono soddisfatti.
Le geometrie non euclidee si sono sviluppate a partire dalla negazione della
validità del famoso quinto postulato (postulato
delle parallele), che era equivalente all'affermazione che "data una
retta e un punto non appartenente a essa, si può tracciare una e una sola retta
parallela alla retta data passante per quel punto".
La geometria analitica è lo studio della geometria con l'uso di metodi
algebrici.
La geometria differenziale applica alla geometria tecniche di calcolo
infinitesimale e studia proprietà locali delle curve, come le tangenti e la
curvatura.
La topologia, che è stata sviluppata nel sec. XX, è lo studio di elementi
geometrici generalizzati e di proprietà quali la connessione e la
compattezza.
La trigonometria è la branca della
matematica che si occupa del calcolo delle distanze, piuttosto che della loro
misura diretta. Le funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente, cotangente,
secante e cosecante) possono essere definite come rapporti delle lunghezze dei
lati di triangoli rettangoli, o in termini di coordinate degli estremi di archi
sul cerchio unitario (funzioni circolari).
Analisi è il nome dato ai settori della matematica che usano il concetto di
limite.
Il calcolo infinitesimale è
considerato una parte dell'analisi; così pure gli argomenti che dipendono dal
calcolo infinitesimale, come le equazioni differenziali, il calcolo vettoriale,
l'analisi reale e l'analisi complessa.
Il calcolo differenziale utilizza le derivate e si occupa di argomenti come
i massimi e minimi e la velocità di variazione delle funzioni.
L'integrale definito, studiato nel calcolo integrale, può essere usato per
ricavare aree e volumi di figure irregolari, per trovare la lunghezza delle
curve e per determinare la convergenza o la divergenza delle serie infinite di
numeri.
La teoria dei numeri (v. teoria dei numeri)
è una delle più antiche branche della matematica pura. Gli elementi in studio
sono i numeri interi, e gli argomenti studiati sono i numeri primi, la
fattorizzazione, le congruenze e le equazioni diofantine (equazioni con
soluzioni intere).
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