Teoria dei numeri
La teoria dei numeri è il settore
della matematica che studia le proprietà dei numeri interi, cioè ... -3, -2,
-1, 0, 1, 2, 3, ...
La teoria dei numeri si interessa di proprietà come il fatto che un numero
sia pari, o primo o la somma di due primi.
Le basi di questa materia furono costruite dai seguaci di Pitagora, da
Diofanto di Alessandria e da scrittori indù come Brahmagupta e Aryabhata.
In tempi recenti lo sviluppo di potenti computer ha dato nuovo impulso a
molti aspetti della teoria dei numeri, compresa la
ricerca di grandi numeri primi e il difficile problema di scomporre in fattori i
numeri grandi. I numeri primi e i fattori sono particolarmente importanti
nello sviluppo di codici per l'immagazzinamento di informazioni delicate in
banche dati e per la loro trasmissione senza rischi (v. criptologia).
Un'altra area della teoria dei numeri di interesse attuale è l'uso del
calcolo per definire la densità di sottoinsiemi di interi. Da un punto di vista
generale la teoria dei numeri di oggi è vicina all'algebra moderna, all'analisi
numerica e classica, nonché alle tecniche statistiche.
La divisibilità è uno dei concetti
fondamentali della teoria dei numeri.
Dati due interi a e b, si dice che a divide b, o che a è divisore di b, se
b = ac, dove c è un numero intero (questo fatto si scrive a/b).
Il massimo comun divisore (M.C.D.) si definisce come segue. Un numero d
maggiore di zero si dice massimo comun divisore di a e di b se d è un divisore
sia di a che di b (d/a e d/b), e inoltre d è il più grande divisore di a e di
b (questo fatto si scrive d = M.C.D. (a, b).) Per esempio, 12 = M.C.D. (96,
156). Una proprietà fondamentale di d è che esistono numeri interi x e y tali
che d = a + by. Per esempio, 12 = (156 x 5) - (96 x 8).
Un altro concetto, legato alla
divisibilità, è quello di numero primo, un numero intero divisibile solo per
se stesso e per l'unità.
I primi numeri primi sono 2, 3, 5, 7, 11. Euclide osservò che se p/ab,
allora p/a o p/b. Da questo risultato può essere facilmente dedotto il teorema
fondamentale dell'aritmetica, detto anche teorema
della fattorizzazione unica: ogni numero intero maggiore di uno è un
prodotto di numeri primi in un modo e uno solo, a parte l'ordine. Per esempio,
22.891.869 = 3 x 3 x 3 x 7 x 7 x 11 x 11 x 11 x 13. Questo fatto è molto utile
nel trovare i denominatori comuni e nell'eseguire altre operazioni aritmetiche.
I numeri primi hanno trovato utilizzazione nelle codificazioni nella tecnologia
degli elaboratori; poiché essi sono difficili da scoprire, i numeri primi
costituiscono un test della corretta installazione di un elaboratore.
La distribuzione e la determinazione dei numeri primi ha rappresentato un
problema per i matematici fin dai tempi antichi. Il più antico metodo efficace
per trovare i numeri primi è dovuto a Eratostene (c. 240 a.C.) ed è detto
filtro di Eratostene.
Per ottenere un elenco dei numeri primi minori o uguali a N, si fa l'elenco
di tutti i numeri interi minori o uguali a N e si cancellano i multipli dei
numeri primi che sono minori o uguali a radice di N. Per esempio, per trovare
tutti i numeri primi minori o uguali a 100 basta cancellare tutti i multipli di
2, 3, 5, 7.
Ci sono numerosi problemi insoluti che riguardano i numeri primi, tra i
quali:
1. La congettura di Goldbach: qualsiasi numero pari è somma di due numeri
primi?
2. Il problema dei numeri primi gemelli: c'è un numero infinito di numeri
primi p per i quali anche p + 2 è primo?
3. C'è un numero infinito di numeri interi n per i quali n2 + 1 è
primo?
Uno degli aspetti che più colpiscono nello studio dei numeri primi è che
per il loro studio uno strumento molto importante è il calcolo infinitesimale,
e particolarmente l'analisi complessa e l'analisi di Fourier.
Uno dei problemi più antichi della teoria dei numeri è la questione di come
i numeri primi sono distribuiti tra i numeri interi.
I Greci riuscirono a dimostrare che c'è un numero infinito di numeri primi,
che essi sono spaziati irregolarmente e che può esserci una distanza
arbitrariamente grande tra due numeri primi successivi. D'altra parte si
ritiene, anche se non è stato dimostrato, che ci siano infiniti
numeri primi gemelli, cioè numeri primi che differiscono di due unità,
come le coppie 5 e 7, o 11 e 13.
Poniamo che pi greco (x) sia il numero di numeri primi fino al valore x (per
esempio pi greco (25) = 9, essendo i numeri primi minori di 25 i nove numeri 2,
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23). Il teorema dei numeri primi stabilisce che pi
greco (x) tende a x/log(x) quando x diviene molto grande (cioè x che tende a
infinito). Questo teorema fu supposto valido nel sec. XVIII, ma non fu
dimostrato completamente che nel 1896, da J. S. Hadamard e Charles de la Vallée
Poussin, indipendentemente, mediante l'uso di un metodo che dipende dall'analisi
complessa. Il procedimento dimostrativo fu tratteggiato nel 1851 da Bernhard
Riemann, ma i necessari strumenti analitici non erano ancora a disposizione a
quell'epoca. Questo teorema costituì una delle più importanti motivazioni per
l'analisi complessa, che venne sviluppata nei decenni successivi e che permise
che lo schema di Riemann venisse finalmente completato.
L'era moderna della teoria dei numeri iniziò con la pubblicazione
dell'opera di Carl Frederick Gauss, Disquisitiones Arithmeticae (1801). In
questo lavoro Gauss introdusse l'idea di una congruenza, che ancora implica il
concetto di divisibilità. Due numeri interi a e b sono detti congruenti modulo
n se la differenza a - b è multipla di n. Ciò si scrive a equivalente b (mod
n), che si può dimostrare equivalente all'affermazione che quando a e b sono
divisibili per un certo numero n danno lo stesso resto.
Per esempio, i numeri 7, 12, 17 e 22 sono tutti congruenti modulo 5.
In particolare, 7 equivalente 12 (mod 5) significa che la divisione di 7 per
5 e la divisione di 12 per 5 danno lo stesso resto (2). Simbolicamente ciò si
indica con 7 = (1 x 5) + 2 e 12 = (2 x 5) + 2.
Le congruenze sono utili perché si comportano come le equazioni, così che
la teoria della divisibilità può essere trattata in termini di equazioni.
Molti risultati sulla divisibilità per i numeri primi possono essere stabiliti
nel linguaggio delle congruenze.
Gauss intraprese uno studio sistematico per risolvere le congruenze del tipo
f(x) equivalente 0 (mod p), dove f(x) è un polinomio. Se f(x) è lineare, cioè
se f(x) = ax + b, il problema si può facilmente ricondurre al seguente: ax + b
equivalente 0 (mod n) è risolubile se e solo se il M.C.D. (a, n)/b. Se f(x) =
ax= + bx + c è quadratico il problema diventa più difficile.
Un risultato fondamentale, detto il problema
del resto cinese, permette di ricondurre il problema al caso in cui n = p
è un numero primo. Inoltre, mediante il provvedimento di "completare il
quadrato", è sufficiente risolvere le congruenze della forma x²
equivalente a (mod p).
Gauss scoprì una relazione stupefacente tra due numeri primi (detta legge
della reciprocità quadratica di Gauss), la quale dice:
se p, q > 2 sono numeri primi, x² equivalente p (mod q) è risolubile se
e solo se è risolubile x² equivalente q (mod p), a meno che p equivalente q
equivalente 3 (mod 4), nel qual caso una è risolubile se e solo se l'altra non
è risolubile.
Per polinomi f(x) di grado più elevato ci sono ancora molti problemi non
risolti.
Le equazioni diofantine sono equazioni polinomiali in due o più variabili
che devono essere risolte per soluzioni intere.
L'equazione più semplice è l'equazione lineare ax + by = c.
Tutte le soluzioni possono essere determinate usando la proprietà del
M.C.D. detta sopra. Per esempio, la soluzione generale di 156x + 96y = 12 è x =
5 + 8t, y = -8 - 13t, qualunque sia il numero intero t. Quando si considerano le
equazioni quadratiche nascono alcuni problemi ancora non risolti.
Un problema fondamentale, dato un numero intero d, è quello della ricerca
di tutti i numeri interi n tali che x² + dy² = p sia risolubile. E'
sufficiente trovare i numeri primi p per i quali è risolubile. Per d = 1,
Fermat dimostrò che x² + y² = p è risolubile se e solo se p = 2 o p
equivalente 1 (mod 4); cioè i numeri primi che sono somma di due quadrati sono
esattamente quelli per i quali è 4/(p - 1) o p = 2.
Un risultato molto più difficile da ottenere è stato quello che x² + 6y²
= p è risolubile se e solo se p - equivalente 1 o 7 (mod 24). I numeri p per i
quali è risolubile x² + 23y² = p non sono noti. Ai Greci era noto che le
soluzioni di x² + y² = z² (terne pitagoriche) sono tutte date da x = t(a² -
b²), y = 2 tab e z = t (a² + b ), dove t, a e b sono numeri interi. Trovare
tutte le terne pitagoriche è equivalente a trovare tutti i triangoli rettangoli
con lati di lunghezza espressa da numeri interi (v. Pitagora, teorema di). Per
esempio, per t = 1, a = 2 e b = 1, la soluzione è x = 3, y = 4 e z = 5 (32 + 42
= 5,2).
Fermat affermò di poter dimostrare che, qualunque sia l'intero n 2,
l'equazione seconda la quale la somma delle ennesime potenze di x e y è uguale
all'ennesima potenza di z non ha soluzioni a meno che non sia x o y o z = 0.
Ciò è noto come ultimo teorema di
Fermat. E' oggi generalmente riconosciuto, tuttavia, che egli in realtà
non aveva dato una dimostrazione corretta del risultato, e il problema resta
insoluto. E' stato mostrato in vari modi, compreso l'uso di elaboratori ad alta
velocità, che non ci sono soluzioni per tutti gli esponenti n fino a 30.000.
Questo problema è stato importante nello sviluppo della teoria algebrica dei
numeri.
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