Trigonometria
La trigonometria è un settore della matematica che si è sviluppato a
partire dalla semplice misura di quantità geometriche, dalla geometria e
dall'agrimensura.
Nella sua forma moderna essa fa uso di concetti di algebra e di analisi
matematica. All'inizio riguardava soltanto la trattazione matematica di problemi
pratici, come le misurazioni relative alle costruzioni e ai terreni; più tardi è
stata estesa alla geometria degli spazi tridimensionali nella forma della trigonometria
sferica.
La misura dei terreni fa uso della triangolazione, in cui si misura un
insieme scelto di triangoli. Nella triangolazione pura si misura il segmento di
base di un triangolo, mentre il resto del rilevamento comporta solo misure di
angoli; nella triangolazione mista vengono misurati sia lati che angoli; nella
triangolazione a catena si misurano solo lati.
I princìpi della trigonometria vengono usati al fine di minimizzare
il numero di misurazioni necessarie e si basano sul concetto di
ingrandimento e di similitudine. Triangoli aventi angoli uguali hanno la stessa
forma, ma solo nel caso particolare della congruenza essi hanno anche la
medesima misura. Qualsiasi insieme di triangoli simili ha la proprietà
invariante della proporzionalità; cioè i rapporti di coppie di lati
corrispondenti hanno lo stesso valore. Nel linguaggio della geometria delle
trasformazioni, per triangoli simili, un triangolo è l'ingrandimento di un
altro, ossia ogni triangolo può essere trasformato in un altro per applicazione
dello stesso fattore di scala a ogni parte del triangolo stesso. Nel caso di un
fattore di scala minore di 1, in realtà l'ingrandimento è una riduzione.
La trigonometria si serve della circostanza che i
rapporti di coppie di lati di un triangolo sono funzioni degli angoli. La
base per la misura dei triangoli è il triangolo rettangolo. Il termine
trigonometria significa letteralmente "misura di trigoni", cioè di
triangoli. Il procedimento di misura definisce i sei rapporti trigonometrici
come rapporti delle lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo. Il
procedimento analitico definisce i rapporti mediante le coordinate di un punto
sulla circonferenza del cerchio unitario, X² + Y² = 1. Questi rapporti
definiscono le funzioni trigonometriche.
Le funzioni trigonometriche, note spesso come funzioni circolari, sono
definite per mezzo dei rapporti trigonometrici. Le funzioni trigonometriche
hanno molte applicazioni nell'algebra. Esse vengono usate per razionalizzare
radici quadrate. Le funzioni trigonometriche sono utili anche nella matematica
applicata. Per esempio, tutte le
oscillazioni possono essere rappresentate come funzioni periodiche, cioè
funzioni che ripetono il loro valore a intervalli costanti della variabile
indipendente. Qualunque funzione periodica può essere rappresentata
mediante una serie trigonometrica infinita. Una serie di Fourier ne è un
esempio (v. Fourier, analisi di).
Le funzioni trigonometriche vengono usate nelle coordinate polari, un
sistema in cui la posizione di un punto P viene determinata dalla sua distanza
OP da un punto fisso O e dall'angolo che OP forma con la semiretta OX che parte
dall'origine (v. coordinate, sistemi di) matematica). La definizione analitica
di cui sopra delle funzioni trigonometriche fa uso delle coordinate polari nel
caso particolare in cui la distanza OP sia unitaria. Questo sistema di
coordinate può essere esteso per formare coordinate sferiche nello
spazio.
Identità
Se un'equazione trigonometrica è vera per tutti i valori delle sue
variabili, essa è un'identità. Alcune identità trigonometriche stabiliscono
relazioni tra varie combinazioni delle sei funzioni trigonometriche in base alle
loro definizioni. Altre sono la forma trigonometrica di classici teoremi di
geometria. Il teorema di Pitagora, a² = b² + c², per un triangolo rettangolo
ABC con angolo retto in A, può essere trasformato sostituendo b e c con a sen B
e a cos B, rispettivamente. Queste formule sono utili nella risoluzione dei
triangoli, cioè nella determinazione della misura degli elementi di un
triangolo a partire da certi dati.
Le formule di riduzione in trigonometria sono identità che esprimono le
relazioni trigonometriche per un angolo qualunque in funzione delle relazioni
per angoli acuti. Oltre al loro uso per semplificare i problemi trigonometrici,
le identità trigonometriche vengono usate spesso in algebra e nel calcolo
differenziale.
Trigonometria sferica
La trigonometria sferica riguarda lo studio dei triangoli su una superficie
sferica (triangoli sferici). Essa è distinta dalla trigonometria ordinaria
delle figure piane e comporta il concetto di triangolo sferico come parte di una
superficie sferica, e dell'arco di un cerchio massimo come lato del triangolo
sferico. Un cerchio massimo sulla superficie di una sfera è l'intersezione tra
la superficie e un piano passante per il centro della sfera. La
distanza più breve tra due punti su una sfera è un arco di cerchio massimo.
Sebbene la Terra non sia una sfera perfetta, essa può con buona approssimazione
essere considerata sferica. In quest'approssimazione si possono tracciare sulla
superficie (sferica) della Terra archi di cerchio massimo, detti geodetiche.
La navigazione marittima e aerea comporta la scelta di rotte che sono delle
geodetiche.
Un triangolo sferico è la parte di superficie sferica limitata dagli archi
di tre cerchi massimi.
La misura dell'angolo sferico tra due cerchi massimi è quella dell'angolo
diedro tra i piani che passano per detti cerchi.
La distanza tra due punti lungo l'arco di cerchio massimo può venire
rappresentata dall'angolo al centro della sfera che sottende l'arco. La misura
di questo angolo, così come quella dell'angolo diedro che dell'angolo sferico,
è espressa in gradi, che devono essere distinti dai cosiddetti gradi
sferici.
Un grado sferico, dato dall'area di una frazione di superficie della sfera pari
a 1/720 dell'intera superficie, corrisponde alla superficie di un triangolo
sferico birettangolo, con due angoli retti e con il terzo angolo di un grado
ordinario. La posizione di un punto nello spazio può essere definita mediante
coordinate sferiche o coordinate polari.
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