Equazione del moto in oceanografia

Equazione del moto in oceanografia

Prerequisiti:

Non lasciamoci spaventare dalle equazioni del moto, perché la loro chiave di lettura consiste nell'applicare la semplicissima II Legge del moto di Newton:

F = m * a

Forza risultante uguale massa per accelerazione

[1]

Il primo passo per giungere all'equazione del moto consiste nel trattare la [1] in modo da mettere in risalto l'accelerazione:

a = F / m

[2]

Ricordando che l'accelerazione è esprimibile in termini differenziali come derivata della velocità vettoriale rispetto al tempo, possiamo sostituire al simbolo a l'espressione (ricordando che si specifica che una grandezza è vettoriale aggiungendo una freccia sopra al simbolo che esprime la grandezza):

Passiamo ora a considerare le diverse forze agenti sull'unità di massa (considerando una massa unitaria, cioè m = 1, possiamo eliminare dalla [2] il termine relativo alla massa, cosicché la [2] diventa a = F), in quanto nella [1] F può esprimere la risultante di più forze.

Le forze che agiscono sull'unità di massa sono:

La forza di gradiente
La forza (apparente) di Coriolis (dal nome del fisico francese Coriolis, è una forza fittizia alla quale sembra soggetto un corpo che si muove entro un sistema in rotazione. Questa forza apparente è legata all'accelerazione dell'oggetto provocata dalla rotazione).
La forza di gravità
Le forze di attrito e di marea

Diamo ora un primo sguardo all'equazione del moto, scritta in forma differenziale, a cui giungeremo al termine del nostro cammino:

ricordando che essa esprime soltanto in maniera più articolata la semplice relazione a = F. Infatti, nel primo membro troviamo l'accelerazione espressa sotto forma di derivata, mentre nel 2° membro troviamo la somma di tutte le forze che agiscono sull'unità di massa.

Per il momento, accontentiamoci di riconoscere tutti i termini che fanno parte dell'equazione:

	Esprime l'accelerazione sotto forma di derivata della velocità rispetto al tempo.
	Esprime la forza di gradiente.	Volume specifico, cioè l'inverso della densità.
		Pressione.
	Esprime la forza di Coriolis	Velocità angolare della Terra.
		Velocità.
	Esprime la forza di gravità.
	Esprime la somma delle altre forze agenti sull'unità di massa (forza di marea, di attrito, ecc.)

Partiamo dal termine relativo alla pressione, per vedere come viene ricavato.

Immaginiamo un volumetto rettangolare, immerso in un fluido, avente come lati dx, dy e dz (il simbolo d sta ad indicare una piccola variazione finita). La forza agente nella direzione della x su questo volumetto dovuta alla pressione idrostatica sarà: + pdydz sulla faccia di sinistra, e - (p+dp) dydz sulla faccia destra (il segno meno sta a significare che la forza su questa faccia agisce nella direzione negativa dell'asse x).	La faccia inferiore dxdy:
	La faccia anteriore dxdz:
	La faccia dydz di sinistra:
La forza di pressione netta agente nella direzione x sarà dunque la somma di queste due	+ pdydz - (p+dp) dydz = = + pdydz - pdydz - dpdydz = = - dpdydz.
Se consideriamo il vettore unitario i nella direzione delle x, possiamo riscrivere	- dpdydz
come
oppure, introducendo le derivate parziali, come:
La forza per unità di volume è (dxdydz =1):
e la forza per unità di massa è (ricordare che r = m/V, per cui V = m/r. Se m = 1 allora V = 1/r):
ricordando che a (volume specifico) è l'inverso della densità, possiamo riscrivere l'ultima espressione così:
Se ripetiamo lo stesso ragionamento per tutte le direzioni (considerando per l'asse y il vettore unitario j, e per l'asse z il vettore unitario k) seguendo le stesse operazioni impiegate per la direzione x, la forza totale di pressione per unità di massa sarà:
che, introducendo il simbolo del cosiddetto operatore gradiente :
può essere riscritta in forma più abbreviata:

Per vedere lo sviluppo del prodotto vettoriale relativo all'accelerazione di Coriolis, clicca qui.

L'equazione:

poiché la velocità è espressa in termini vettoriali, può essere riscritta sotto forma delle tre equazioni componenti secondo le coordinate x, y e z e le loro rispettive componenti u, v e w che sono rispettivamente positive nelle direzioni est, nord e verso l'alto, con l'origine delle coordinate posta al livello della superficie marina:

(secondo l'asse x)
(secondo l'asse y)
(secondo l'asse z)

Note:

Il fattore viene spesso indicato con la lettera f (parametro di Coriolis), cosicché, ad esempio:

Questa pagina è stata realizzata da Vittorio Villasmunta

Ultimo aggiornamento: 27/02/16