Equazione
Un'equazione è una relazione soddisfatta da una o più quantità,
variabili, o operatori, che stabilisce l'equivalenza tra due espressioni.
Un'equazione si dice lineare quando la variabile o le variabili compaiono al
primo grado, o alla prima potenza; in altre parole nessuna variabile compare con
esponente superiore a 1. Un'equazione lineare può contenere un numero qualunque
di variabili. Un'altra caratteristica delle equazioni lineari è la proprietà
geometrica che il loro grafico è una linea retta. Molti problemi, sia pratici
che teorici, comportano la soluzione di equazioni lineari.
Un'equazione si dice quadratica se il massimo esponente al quale compaiono
le incognite è uguale a due. La natura delle soluzioni è determinata da
un'espressione detta discriminante.
Le equazioni lineari e quadratiche sono casi particolari di equazioni
polinomiali (v. polinomio).
La soluzione, o radice, dell'equazione può essere sia un numero reale che
complesso, anche se tutti i coefficienti.
La molteplicità della soluzione è il numero di volte che la radice si
trova ripetuta nell'espressione fattorizzata. Anche se una equazione ammette
soluzioni, può essere difficile o impossibile trovarle esattamente. Per
esempio, un'equazione semplice come l'equazione polinomiale di quinto grado non
può essere risolta, in generale, con operazioni razionali elementari, ma si
possono ottenere solo soluzioni approssimate. Forse la più basilare tecnica di
approssimazione è il metodo di Newton.
Questo metodo prevede un procedimento iterativo che porta ad approssimazioni di
accuratezza sempre migliore.
I sistemi di equazioni trovano applicazione in una grande varietà di casi,
per esempio nella correlazione e regressione in statistica, nell'analisi delle
strutture a elementi finiti, e nella soluzione approssimata delle equazioni
differenziali.
Le equazioni differenziali sono equazioni
che legano una quantità alla sua velocità di variazione; si incontrano
spesso in problemi di ingegneria, di scienze naturali, di scienze sociali, dove
vengono suggerite dai risultati di osservazioni o di esperienze, o dove vengono
proposte come ipotesi da verificare. Queste
equazioni sono importanti perché molti fenomeni possono venire descritti da
quantità le cui velocità di variazione sono intrinsecamente legate ai loro
valori.
E' oggi ben noto che molte leggi della natura possono essere descritte in
termini di equazioni differenziali. A partire dalla scoperta del calcolo
infinitesimale, negli anni 1644-66, le equazioni differenziali sono state
applicate a un gran numero di problemi in campi come la meccanica, la teoria
elettromagnetica, la relatività e la meccanica quantistica.
Più recentemente è stato trovato che anche alcuni processi biologici ed
economici possono essere descritti da modelli che usano equazioni
differenziali.
Le equazioni differenziali ordinarie hanno molte applicazioni, come nella
progettazione di circuiti elettrici, nello studio dei moti dei corpi celesti e
nella descrizione delle traiettorie dei razzi. Un esempio di applicazione delle
equazioni differenziali si presenta nello studio del moto di un corpo in caduta
libera. Si trova sperimentalmente che i corpi cadono vicino alla superficie
della terra sotto l'influenza della gravità con accelerazione costante. Poiché
l'accelerazione è la rapidità di variazione della velocità, che a sua volta
è la rapidità della variazione della distanza, l'accelerazione è la derivata
seconda della distanza rispetto al tempo.
Le equazioni differenziali alle derivate parziali contengono funzioni
incognite di due o più variabili indipendenti e relazioni tra le derivate
parziali di queste funzioni incognite. Molti fenomeni fisici sono rappresentati
da modelli che seguono equazioni differenziali alle derivate parziali o, in
particolar modo, sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali;
esempi sono il moto dell'atmosfera,
le proprietà strutturali delle dighe e dei ponti e la produzione dei reattori
nucleari.
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