Limite
Lo studio del concetto matematico di limite segna il passaggio dalle
matematiche elementari a gran parte della matematica superiore, incluso il calcolo
infinitesimale.
Il tipo più importante di limite è il limite di una funzione.
Una funzione può essere considerata come una macchina programmata in modo
da accettare un dato numerico in ingresso e che produce un dato numerico in
uscita. Per esempio, l'uscita può essere il quadrato del dato in ingresso. Se
una funzione è indicata con f, e il dato in ingresso, o variabile indipendente,
è x, l'uscita corrispondente, o variabile dipendente, è indicata con f(x), che
si legge "f di x". "Il limite di f di x per x tendente ad a è
L" è espressione significante che il valore limite L può essere
approssimato da f(x) entro qualsiasi grado di precisione pur di prendere x
sufficientemente vicino ad a. Notiamo che non è richiesto che x assuma il
valore a, e in ogni caso non è detto che f(a) sia uguale a L. Più
precisamente, l'espressione precedente è l'affermazione che dato un valore D
alla tolleranza sulla distanza tra f(x) e L, è possibile trovare un valore d
della tolleranza sulla distanza tra x e a, tale che f(x) sia entro la distanza D
da L, se x è entro la distanza d da a.
Sebbene una successione matematica non sia che un tipo particolare di
funzione, è utile considerare separatamente il limite di una successione a
causa dell'importanza delle successioni stesse. Una successione è una sequenza
di enti matematici dette membri o termini. La successione 1,4,9,16 è una
successione finita, perché è formata da un numero finito di termini (quattro
in questo caso). La successione a1, a2, a3,
..., an-1, an è una successione infinita (perché ha un
numero infinito di termini). Possono avere limiti sole le successioni infinite,
anche se non tutte le successioni infinite ne hanno; invece una successione
finita ha un termine così che non si può avvicinare indefinitamente a nessun
valore limite. Una successione può essere individuata dando una formula
esplicita per il suo termine generale an. "Il limite di an
per n che tende all'infinito è L", significa che L può essere
approssimato con precisione arbitraria da an pur di prendere n
sufficientemente grande. Più precisamente, se si assume un valore D per la
tolleranza sulla distanza tra an e L, è possibile trovare un intero
N (che dipende da D) tale che per n maggiore di N i termini an cadono
entro una distanza D da L. Le
successioni infinite che ammettono limite sono dette convergenti, mentre quelle
che non hanno limite sono dette divergenti. Vedi anche:
continuità.
Copyright © 2002 Motta Editore
|
