Moto
Una definizione intuitiva di moto è "un cambiamento continuo nel
tempo".
Una tale descrizione fu usata dagli antichi filosofi greci, per i quali
l'interpretazione del concetto di cambiamento costituiva in generale un grande
problema.
Zenone di Elea (c. 490-430 a.C.) escogitò il paradosso della freccia: un
corpo che occupa uno spazio uguale al suo volume è in riposo; una freccia in
volo occupa a ogni istante uno spazio uguale al suo volume; quindi, a ogni
istante, la freccia è in riposo; perciò essa è in riposo a tutti gli istanti.
Questo paradosso non fu risolto fino al sec. XVII, in seguito allo sviluppo del calcolo
infinitesimale, che finalmente permise ai matematici di distinguere
cambiamenti infinitesimi dallo zero.
La descrizione del moto nella meccanica classica richiede l'uso della
matematica. Allo scopo di poter analizzare il moto sistematicamente si devono
formulare precise definizioni per i concetti di velocità e accelerazione, e se
i valori di queste quantità per un corpo sono note a ogni istante, la sua
traiettoria può essere determinata completamente. In questa maniera è
possibile risolvere la maggior parte dei problemi di moto, dal moto degli atomi
a quello dei pianeti.
La velocità di un corpo si può calcolare dallo spazio che esso percorre in
un certo tempo. La distanza divisa per l'intervallo di tempo trascorso viene
chiamata velocità media, ed è data comunemente in unità di metri per secondo
(m/s) o di chilometri per ora. La velocità media di un corpo durante un
particolare intervallo di tempo dà soltanto una rozza idea del modo con cui il
corpo si è realmente mosso durante quel periodo. Per ottenere la velocità a un
particolare istante (velocità
istantanea), bisogna conoscere la variazione infinitesima nella posizione
che ha luogo in un intervallo infinitesimo.
La velocità è una quantità vettoriale; essa non ha soltanto
un'intensità, ma anche una direzione. Quando la velocità di un corpo conserva
la stessa direzione e ha intensità costante quel corpo si muove di moto
uniforme. Tale moto è del tutto comune; una volta che gli aeroplani, i treni e
le navi hanno acquistato velocità, essi tendono, se gli attriti sono scarsi, a
continuare il loro viaggio a velocità costante e, se la strada lo permette, in
direzione costante. Il moto uniforme è un moto particolare poiché esso è il
solo moto in natura che può essere mantenuto senza una forza di alcun genere.
Un passeggero in un veicolo che si muove di moto uniforme non si sentirà spinto
né il suo sedile verrà tirato di lato. Questo spiega la preferenza per il moto
uniforme nei trasporti.
Nel caso che su un corpo agiscano delle forze che non si annullano fra loro,
il moto uniforme non ha più luogo. Una semplice idea del concetto di
accelerazione si può avere quando la variazione nella velocità avviene
soltanto nella direzione della velocità stessa. L'accelerazione è di solito
espressa come la variazione nella velocità, per esempio in m/s, che ha luogo in
un secondo; in questo caso, in metri al secondo per secondo (m/s²).
Un'automobile che accelera dallo stato di riposo fino a 72 Km/h (20 m/s) in 10 s
ha subìto una accelerazione di 2 m/s². La forza responsabile
dell'accelerazione è fornita dal motore e il passeggero subisce la stessa forza
acceleratrice, sentendosi schiacciato contro il sedile. Una decelerazione
(accelerazione negativa) riduce la velocità della macchina. A meno che un
passeggero non sia assicurato al sedile da una cinghia, su di lui non agisce
alcuna forza deceleratrice, e continuerà quindi a muoversi in avanti. Anche
l'accelerazione è un vettore. Se la
forza che causa l'accelerazione non agisce lungo la stessa direzione della
velocità l'accelerazione può essere divisa in due componenti perpendicolari
(v. calcolo vettoriale). La componente nella direzione della velocità è
chiamata accelerazione tangenziale. L'accelerazione tangenziale media è uguale
alla variazione della velocità per unità di tempo. L'accelerazione tangenziale
istantanea è data dalla derivata della velocità. La componente
dell'accelerazione perpendicolare alla velocità è l'accelerazione radiale,
uguale a v²/r, dove r è il raggio della traiettoria circolare (immaginaria o
no) lungo la quale il corpo si muove all'istante considerato (una traiettoria
arbitraria può essere sempre considerata come composta da tratti di traiettoria
circolare collegati insieme, e il raggio r del cerchio può essere differente in
ogni punto della traiettoria). Anche se un corpo sta eseguendo un moto uniforme,
la sua traiettoria si incurverà sotto l'influenza dell'accelerazione radiale
(si veda il capitolo sul moto circolare).
L'esatta posizione di un corpo che si muove uniformemente lungo una linea
retta può calcolarsi facilmente da x = vt, dove x è la distanza percorsa. Le
stesse unità devono venire usate in entrambi i membri destro e sinistro della
formula; se la velocità è espressa in chilometri all'ora (Km/h), il tempo deve
essere misurato in ore e la distanza in chilometri. Se, invece, la velocità è
in metri al secondo (m/s), allora il tempo deve essere in secondi e la distanza
in metri.
Un moto uniformemente accelerato è quello che si ha quando un corpo è
sottoposto a un'accelerazione costante, come per esempio per effetto della
gravità. Se il corpo in questione era già in movimento all'istante in cui è
iniziata l'accelerazione, allora si deve sommare lo spazio percorso prima di
quell'istante. La velocità iniziale non deve essere necessariamente nella
stessa direzione dell'accelerazione.
Un caso notissimo di corpi sottoposti a un'accelerazione uniforme si ha
quando essi sono lasciati cadere nel campo gravitazionale della Terra (v.
caduta). La velocità del corpo aumenta ogni secondo di 9,8 m/s. In realtà
l'accelerazione della forza gravitazionale non è costante, ma fino
a una altezza di 30 Km le deviazioni da questo valore sono minori dell'1%.
Un corpo che viene lanciato orizzontalmente si muoverà in linea retta
uniformemente lungo la superficie della Terra e al tempo stesso subirà il moto
di caduta accelerata dovuto alla gravità. Il moto reale risultante da questi
due moti non è più una linea retta, e il corpo percorrerà spazi sempre più
grandi verso il basso rispetto agli spazi percorsi in avanti; quindi viene
eseguita una traiettoria parabolica. La velocità verticale con la quale un
corpo lasciato cadere dall'altezza h colpisce il suolo rappresenta anche la
velocità con la quale il corpo deve essere lanciato verso l'alto per poter
raggiungere proprio la quota h. Alle alte velocità la resistenza dell'aria
diventa un fattore di estrema importanza, uguagliando alla fine la spinta verso
il basso della gravità e annullando ogni ulteriore aumento della velocità di
caduta. Un paracadutista, per esempio, raggiungerà una velocità di caduta
libera costante (velocità finale) che si trova, a seconda della posizione
assunta dal corpo, tra 180 e 250 Km/h.
Il moto circolare è una delle forme più diffuse di moto sia in natura che
nei dispositivi artificiali; i pianeti ruotano intorno al Sole in orbite che
sono pressoché circolari; la rotazione giornaliera della Terra fa in modo che
le stelle sembrino muoversi su traiettorie circolari attraverso il cielo; i
macchinari della moderna civilizzazione industriale dipendono da ingranaggi
ruotanti. I filosofi greci e i loro successori scolastici nel Medioevo pensavano
che il moto circolare fosse il più perfetto genere di moto. Necessariamente,
essi arguivano, i moti dei corpi celesti devono essere circolari (v. astronomia,
storia della). Dal momento che i moti apparenti dei pianeti nel cielo sono
manifestamente non circolari, Tolomeo di Alessandria sviluppò, per spiegarli,
un complicato modello basato sui moti circolari dei pianeti attorno a dei punti
che a loro volta si muovono su circonferenze più grandi. Il sistema poteva
prevedere le posizioni apparenti dei pianeti abbastanza bene nell'arco di
diversi anni. Se un corpo in movimento non è sottoposto a perturbazioni
esterne, esso continuerà a muoversi con velocità costante in linea retta. Se
invece è sottoposto a una forza che cambia continuamente di direzione in modo
tale da restare sempre perpendicolare alla velocità, il corpo si muoverà su
una circonferenza. Questa forza perpendicolare costante è chiamata forza
centripeta (v. centrifuga e centripeta, forze). Poiché la velocità del
corpo ruotante è sempre tangenziale, la forza centrifuga è necessariamente
radiale. Affinché un corpo di massa m si muova su un'orbita circolare di raggio
r con velocità costante v, la forza centripeta deve essere uguale a mv²/r. La
gravitazione fornisce la forza centripeta per i pianeti. Il tempo necessario per
compiere una rivoluzione completa è chiamato periodo, T. Il numero di
rivoluzioni per unità di tempo è la frequenza f, e T = 1/f. La velocità
angolare v in radianti/s è uguale a 2 pi greco f, dove f è espressa in
numero di giri/s. La velocità tangenziale v è uguale a vr.
Queste definizioni e formule possono essere usate per calcolare i dati
fondamentali di un moto rotatorio. Per esempio, se un disco viene fatto suonare
alla frequenza standard di 33 e 1/3 giri al minuto, o 0,56 giri/s,
-
il periodo T è 1: 0,56, cioè 1,8 s;
-
la velocità angolare v è 2 pi greco x 0,56, cioè 3,5
radianti/s.
Per un raggio tipico di 15 cm la velocità tangenziale al margine è 3,5 x
15, cioè 52 cm/s.
I corrispondenti valori per un punto all'equatore della Terra, con un raggio
r = 6378 Km, sono
-
T = 24 h;
-
f = 1/24 rotazioni/h;
-
v = 2 pi greco (1/24), cioè 0,26 radianti/h; e
-
v = 0,26 x 6378 cioè 1700 Km/h.
Le grandezze del moto lineare hanno i loro corrispettivi nel moto circolare.
Lo spostamento lineare, x, corrisponde allo spostamento angolare w, e la
velocità lineare, v, corrisponde alla velocità angolare, v.
L'inerzia di un corpo ruotante prende il nome di momento
d'inerzia, I. Per un corpo puntiforme di massa m che si muove su una
circonferenza di raggio r, I = mr².
L'impulso lineare, mv, corrisponde al momento
angolare, Iv. Per un corpo puntiforme, Iv = (mr²)v = mvr. La proiezione su
di un asse (in alcuni casi, l'ombra) di un corpo in moto circolare con velocità
costante esegue un tipo particolare di oscillazione nota come armonica semplice
(si veda il capitolo seguente). In natura questo effetto è responsabile
dell'allungamento e dell'accorciamento, in maniera sinusoidale, della durata
della luce del giorno nel corso dell'anno.
Un moto che si ripete esattamente a intervalli di tempo regolari viene
chiamato moto periodico; il tipo più semplice di moto periodico è il moto
armonico, o sinusoidale. Il moto armonico è importante non soltanto perché
viene osservato comunemente ed è semplice da descrivere e da analizzare, ma
anche perché ogni moto periodico, non
importa quanto complicato, può essere espresso come una somma di moti armonici.
Le due grandezze fisiche fondamentali che devono essere presenti affinché
avvenga un moto armonico sono l'inerzia,
che è la tendenza di un sistema a rimanere nel proprio stato di moto o di
quiete, e una forza di richiamo che cerca di riportare il sistema alla
sua posizione di equilibrio o di riposo. L'intensità della forza di richiamo
è, entro certi limiti, direttamente proporzionale allo spostamento
dall'equilibrio; cioè più grande è lo spostamento, maggiore è la forza di
richiamo. Questo tipo di forza di richiamo, chiamata forza
elastica, fu descritta per la prima volta da Robert Hooke nel sec. XVII.
La proporzionalità della forza elastica di richiamo allo spostamento è
chiamata legge di Hooke. Un
semplice esempio di moto armonico è quello di un corpo attaccato a una molla.
Quando la molla è allungata o compressa a causa del moto del corpo, essa
esercita una forza elastica di richiamo che costringe il corpo a oscillare. Il
corpo stesso mostra la proprietà di inerzia; esso rimarrebbe in moto uniforme
in assenza di forze. Il moto risultante del corpo perciò è un moto armonico
semplice. In un circuito elettrico, la combinazione di un induttore e di un
capacitore crea le condizioni per l'oscillazione armonica della corrente e della
tensione. L'induttore mostra inerzia opponendosi a variazioni della corrente; il
capacitore fornisce la forza di richiamo dal momento che diviene più difficile
caricarlo in proporzione diretta alla quantità di carica con la quale è già
stato caricato. Le oscillazioni elettriche basate su questi concetti sono state
portate a un alto grado di sofisticazione nelle moderne apparecchiature
elettriche ed elettroniche.
Un altro esempio di moto periodico è quello di un pendolo semplice, un peso
oscillante all'estremità di una corda inestensibile e senza massa. La gravità
fornisce la forza di richiamo, ma poiché la traiettoria del grave è un arco,
la forza non è direttamente proporzionale allo spostamento, e quindi il moto
non è esattamente armonico. Per piccoli spostamenti, fino a un angolo
approssimativamente di 10°, il moto può essere considerato armonico poiché la
sua variazione dal caso ideale è minore dell'1%.
Il moto armonico è chiamato moto sinusoidale poiché la relazione
matematica tra lo spostamento x del corpo che oscilla e il tempo t è una
funzione seno (o coseno). Cioè, se un cronometro viene fatto partire (t = 0)
quando il corpo passa per la sua posizione di equilibrio, il suo spostamento
può essere determinato a ogni istante successivo mediante la formula x = A sen
2ft, dove A è lo spostamento massimo e f è la frequenza (il numero di
oscillazioni al secondo). Se il cronometro era partito con il corpo nella
posizione A, il moto doveva essere descritto mediante x = A cos 2ft. Inoltre, la
velocità e l'accelerazione del corpo sono ancora descritte da funzioni seno o
coseno.
Tra il moto armonico semplice e il moto circolare esiste una stretta
relazione. Se un corpo che si muove con velocità costante su una traiettoria
circolare viene osservato entro il piano del suo movimento, (di modo che il
cerchio è visto di taglio), il corpo sembra muoversi avanti e indietro su una
linea retta, obbedendo alle regole del moto armonico semplice. Una traiettoria
circolare può quindi essere considerata come la traiettoria di un corpo
sottoposto a due forze di richiamo agenti ad angolo retto l'una con l'altra.
Entrambe devono avere la stessa frequenza e produrre lo stesso spostamento
massimo (ampiezza), ma esse devono essere sfasate l'una con l'altra di 180°
(una raggiunge un minimo quando l'altra è a un massimo).
Un moto ellittico può anche essere considerato come il risultato di due
moti armonici separati e perpendicolari. Come nel moto circolare, le frequenze
delle due forze sono le stesse ma, o gli spostamenti massimi sono differenti, o
la differenza di fase ha un valore diverso da 180° (o 0°, nel qual caso la
traiettoria risultante è una linea retta). Sebbene di solito non sia necessario
descrivere un moto circolare o ellittico mediante due moti armonici separati,
questo è spesso il modo più semplice di trattare traiettorie più complesse,
particolarmente quelle conosciute come figure di Lissajous.
Il moto armonico è caratterizzato da un movimento simmetrico attorno alla
posizione di equilibrio. Se invece ogni spostamento massimo è leggermente
minore di quello precedente, il moto viene detto smorzato.
Lo smorzamento è la dissipazione
dell'energia cinetica dell'oscillatore e causa la fine delle vibrazioni.
Quando le vibrazioni sono indesiderabili sono utili dei dispositivi che
assorbono l'energia; questi talvolta possono essere semplicemente dei cuscinetti
di gomma.
Vedi anche: cinematica; dinamica; leggi del
moto; onde e propagazione delle onde.
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