Infinito (matematica)
Il termine infinito, come è usato in matematica, indica una quantità che
cresce oltre ogni limite ed è il contrario di una quantità finita.
Il termine si incontra spesso nello studio dei limiti.
Un insieme A è detto insieme infinito se esiste un sottoinsieme di A
(diverso da A stesso) che può essere messo in corrispondenza biunivoca con A
(v. teoria degli insiemi). Questa
corrispondenza evidenzia anche un aspetto dell'infinito che sembra paradossale.
Poiché ogni numero naturale viene fatto corrispondere a un numero pari,
l'infinità dei numeri pari è grande proprio quanto l'infinità dei numeri
naturali (pari e dispari), cioè ci sono tanti numeri pari quanti numeri
naturali.
Il metodo di confrontare le infinità accoppiando gli elementi in insiemi
infiniti diversi è stato ideato da George Cantor. Con questo metodo, egli
mostrò che ci sono diversi ordini di infinito, rappresentati da quantità dette
numeri transfiniti.
Per esempio, ci sono più punti su una retta di quanti siano i numeri
naturali (interi positivi), anche se ambedue gli insiemi sono infiniti.
Un insieme in cui il numero di elementi è lo stesso del numero dei numeri
naturali (cioè che può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme
dei numeri naturali) è detto un insieme
infinito numerabile. Questa infinità numerabile è quella di ordine più
piccolo.
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