Funzione
Il concetto di funzione è basilare in quasi tutti i settori della
matematica e delle sue applicazioni. E' un tipo particolare di relazione
matematica, che può essere considerato un modo di associare ad ogni elemento di
un insieme A un elemento e uno solo dell'insieme B.
Per esempio se A è l'insieme (1, 2, 3) e B è l'insieme dei quadrati degli
elementi di A (1, 4, 9), allora si può associare ad ogni elemento dell'insieme
A il suo quadrato nell'insieme B. Le funzioni vengono spesso dette
"applicazioni". I matematici usano il termine "f applica da 1 in
A a 1 in B" e simili. Dato un elemento a di A, l'elemento b di B
determinato da f è indicato con f(a) (che si legge "f di a") e viene
detto immagine. Così nell'esempio di prima, f(1) = 1, f(2) = 4, e f(3) = 9.
L'insieme A che viene trasformato da f è detto dominio
di f, e l'insieme B, che è l'insieme di tutti gli f(a) con a in A, è detto codominio
di f. Così nell'esempio precedente il dominio di f è (1, 2, 3), e il codominio
di f è (1, 4, 9).
Le funzioni sono spesso definite attraverso equazioni. Così si può
scrivere la funzione dall'esempio precedente come x -- x² o come f:f(x) = x²,
o come la funzione f tale che f(x) = x². Altri esempi di funzione sono i
seguenti: C(r) = 2 pi greco r (la circonferenza del cerchio di raggio r); s(t) =
980 t² (distanza in centimetri che un corpo in caduta libera percorre in t
secondi); r(x) = radice di x (lunghezza del lato del quadrato la cui area è x).
Per le funzioni C e r, il dominio deve essere considerato l'insieme dei numeri
positivi, poiché non avrebbe senso parlare per esempio di un cerchio di raggio
-1. Per la funzione s il dominio è l'insieme dei numeri non negativi, cioè dei
numeri positivi e dello zero.
Non è assolutamente necessario,
tuttavia, che le funzioni siano definite mediante un'equazione. Per
esempio, si consideri che il dominio di f sia l'insieme dei numeri naturali, 1,
2, 3, 4, ..., e si definisca f(a) = 0 se a è dispari e f(a) = 1 se a è pari.
Allora, per esempio, f(1) = f(3) = f(5) = 0, e f(2) = f(4) = f(6) = 1. Il campo
di f è quindi (0, 1).
Non è necessario che il dominio o
il codominio di una funzione siano insiemi numerici. Ad esempio, sia T
l'insieme di tutti i triangoli e f associ ad ogni triangolo la sua area. Allora
f è una funzione il cui dominio è T e il cui codominio è l'insieme di tutti i
numeri reali positivi. Come altro esempio sia T ancora l'insieme di tutti i
triangoli ed r associ ad ogni triangolo t la sua immagine speculare rispetto ad
una retta L del piano, come mostrato nella figura 2. Allora il codominio di r è
ancora T.
Ogni funzione f con dominio D e codominio R determina un insieme di coppie
ordinate (a, f(a)), dove a è in D ed f(a) in R. Quindi, per f:f(x) = x² con D
= (1, 2, 3), si ottiene l'insieme F di coppie ordinate (1, ((1, 1), (2, 4), (3,
9)). Tuttavia, non tutti gli insiemi di coppie ordinate definiscono una
funzione. Per esempio, supponiamo che l'insieme di coppie ordinate sia ((1, 1),
(1, 2)). Questo è semplicemente impossibile, poiché una funzione deve
associare ad ogni elemento nel suo dominio un elemento e uno solo del suo
codominio. Sebbene non tutti gli insiemi di coppie ordinate descrivano una
funzione, ogni insieme di coppie ordinate è detto relazione.
Le funzioni esponenziali si trovano in molte applicazioni, per esempio nel
problema dell'interesse composto. Se 1000 lire vengono investite al 12% di
interesse annuo composto, in un anno di tempo esse diventano 1120 lire e,
continuando a crescere, saranno pari a (1120) alla n-esima potenza lire alla
fine dell'n-esimo anno. In molte applicazioni si prende il numero e per base (v.
e).
Le funzioni iperboliche sono sei funzioni tutte legate alla funzione
esponenziale. Geometricamente, le funzioni iperboliche sono legate all'iperbole,
proprio come le funzioni trigonometriche (circolari), che formano l'oggetto
della trigonometria, sono legate alla circonferenza.
Una funzione si dice periodica con periodo p se f(x) = f(x + p) qualunque
sia il valore di x. Il massimo valore assoluto assunto da f(x) è detto ampiezza
e 1/p è la frequenza cioè il
numero di ripetizioni della forma della curva periodica rappresentativa di f(x)
per unità di lunghezza. Tutte e sei le funzioni circolari, o trigonometriche,
sono periodiche. Il seno, il coseno, la secante e la cosecante sono funzioni
dell'angolo (theta + 2n pi greco) che hanno valori che si ripetono per n = 0, 1,
2, 3, 4, e così via. La tangente e la cotangente hanno valori che si ripetono
per n = 0, 1/2, 1, 1 + 1/2, e così via. Le funzioni seno e coseno possono
essere usate per rappresentare moti armonici semplici di sistemi oscillanti,
come molle o onde elettromagnetiche. Qualunque funzione periodica di periodo 2
pi greco può essere espressa come una serie trigonometrica infinita nota come
serie di Fourier (v. Fourier, analisi di). Quando l'andamento della posizione in
funzione del tempo è descritto da una funzione periodica il moto è detto
periodico, o armonico (v. moto).
Una espressione algebrica di secondo
grado è detta espressione o funzione quadratica. Essa è un polinomio in
cui il termine di grado più elevato è quadratico, cioè ha per esponente 2. Se
la funzione quadratica viene uguagliata a zero si ha un'equazione quadratica.
Nella sua forma standard questa è data da ax² + bx + c = 0. Le soluzioni, o
radici, di questa equazione sono date dalla formula quadratica nella quale
compare l'espressione b² - 4ac, detta discriminante
dell'equazione.
Una funzione trascendente è una
funzione che non è una radice di una equazione polinomiale. Funzioni di
questo tipo si trovano frequentemente nella matematica e nelle scienze. Una
funzione che sia radice di un'equazione polinomiale è una funzione algebrica;
tutte le altre funzioni sono dette trascendenti. L'importanza
delle funzioni trascendenti consiste nel fatto che la maggior parte delle
funzioni che descrivono fenomeni naturali sono trascendenti. Le sei
funzioni trigonometriche seno, coseno, tangente, secante, cosecante e
cotangente, per esempio, sono funzioni trascendenti, come pure sono trascendenti
la funzione logaritmica, la funzione esponenziale e le funzioni
iperboliche.
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