Equazione
Un'equazione è una relazione soddisfatta da una o più quantità,
variabili, o operatori, che stabilisce l'equivalenza tra due espressioni.
Un'equazione si dice lineare quando la variabile o le variabili compaiono al
primo grado, o alla prima potenza; in altre parole nessuna variabile compare con
esponente superiore a 1. Un'equazione lineare può contenere un numero qualunque
di variabili. Un'altra caratteristica delle equazioni lineari è la proprietà
geometrica che il loro grafico è una linea retta. Molti problemi, sia pratici
che teorici, comportano la soluzione di equazioni lineari.
Un'equazione si dice quadratica se il massimo esponente al quale compaiono
le incognite è uguale a due. La natura delle soluzioni è determinata da
un'espressione detta discriminante.
Le equazioni lineari e quadratiche sono casi particolari di equazioni
polinomiali (v. polinomio). La soluzione, o radice, dell'equazione può essere
sia un numero reale che complesso, anche se tutti i coefficienti. La
molteplicità della soluzione è il numero di volte che la radice si trova
ripetuta nell'espressione fattorizzata. Anche se una equazione ammette
soluzioni, può essere difficile o impossibile trovarle esattamente. Per
esempio, un'equazione semplice come l'equazione polinomiale di quinto grado non
può essere risolta, in generale, con operazioni razionali elementari, ma si
possono ottenere solo soluzioni approssimate. Forse la più basilare tecnica di
approssimazione è il metodo di Newton.
Questo metodo prevede un procedimento iterativo che porta ad approssimazioni di
accuratezza sempre migliore.
I sistemi di equazioni trovano applicazione in una grande varietà di casi,
per esempio nella correlazione e regressione in statistica, nell'analisi delle
strutture a elementi finiti, e nella soluzione approssimata delle equazioni
differenziali.
Le equazioni differenziali sono equazioni
che legano una quantità alla sua velocità di variazione; si incontrano
spesso in problemi di ingegneria, di scienze naturali, di scienze sociali, dove
vengono suggerite dai risultati di osservazioni o di esperienze, o dove vengono
proposte come ipotesi da verificare. Queste equazioni sono importanti perché molti
fenomeni possono venire descritti da quantità le cui velocità di variazione
sono intrinsecamente legate ai loro valori. E' oggi ben noto che molte
leggi della natura possono essere descritte in termini di equazioni
differenziali. A partire dalla scoperta del calcolo infinitesimale, negli anni
1644-66, le equazioni differenziali sono state applicate a un gran numero di
problemi in campi come la meccanica, la teoria elettromagnetica, la relatività
e la meccanica quantistica. Più recentemente è stato trovato che anche alcuni
processi biologici ed economici possono essere descritti da modelli che usano
equazioni differenziali. Le equazioni differenziali ordinarie hanno molte
applicazioni, come nella progettazione di circuiti elettrici, nello studio dei
moti dei corpi celesti e nella descrizione delle traiettorie dei razzi. Un
esempio di applicazione delle equazioni differenziali si presenta nello studio
del moto di un corpo in caduta libera. Si trova sperimentalmente che i corpi
cadono vicino alla superficie della terra sotto l'influenza della gravità con
accelerazione costante. Poiché l'accelerazione è la rapidità di variazione
della velocità, che a sua volta è la rapidità della variazione della
distanza, l'accelerazione è la derivata seconda della distanza rispetto al
tempo.
Le equazioni differenziali alle
derivate parziali contengono funzioni incognite di due o più variabili
indipendenti e relazioni tra le derivate parziali di queste funzioni incognite.
Molti fenomeni fisici sono rappresentati da modelli che seguono equazioni
differenziali alle derivate parziali o, in particolar modo, sistemi
di equazioni differenziali alle derivate parziali; esempi sono il
moto dell'atmosfera, le proprietà strutturali delle dighe e dei ponti e
la produzione dei reattori nucleari.
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